数学A 不定方程式 問題 10 解説

方針・初手

係数 $70,130$ の最大公約数を見る。整数解の存在は最大公約数で判定できる。

また、正の整数解の個数を数える部分では、両辺を $10$ で割って

$$ 7x+13y=n $$

の正の整数解の個数を考えればよい。

解法1

(1)

方程式

$$ 70x+130y=m $$

が整数解をもつための必要十分条件は、$\gcd(70,130)$ が $m$ を割り切ることである。

ここで

$$ \gcd(70,130)=10 $$

であるから、整数解をもつ $m$ は $10$ の倍数である。

実際、

$$ 70\cdot 2+130\cdot(-1)=140-130=10 $$

より、$m=10$ のとき整数解をもつ。

したがって、$m$ の最小値は

$$ m_0=10 $$

である。

(2)

$m_0=10$ であるから、

$$ 70x+130y=10 $$

を解く。

両辺を $10$ で割ると

$$ 7x+13y=1 $$

である。

一つの整数解は

$$ x=2,\quad y=-1 $$

である。実際、

$$ 7\cdot 2+13\cdot(-1)=14-13=1 $$

となる。

一般解を求める。$7x+13y=1$ と $7\cdot 2+13\cdot(-1)=1$ を引くと、

$$ 7(x-2)+13(y+1)=0 $$

である。よって

$$ 7(x-2)=-13(y+1) $$

となる。

$7$ と $13$ は互いに素であるから、$x-2$ は $13$ の倍数である。整数 $t$ を用いて

$$ x-2=13t $$

とおくと、

$$ y+1=-7t $$

である。

したがって、すべての整数解は

$$ x=2+13t,\quad y=-1-7t \quad (t\in\mathbb{Z}) $$

である。

(3)

正の整数解を考える。左辺 $70x+130y$ は常に $10$ の倍数であるから、解をもつ $m$ は $10$ の倍数である。

そこで

$$ m=10n $$

とおくと、方程式は

$$ 7x+13y=n $$

となる。この方程式が正の整数解をちょうど $3$ 組もつような $n$ の最小値を求めればよい。

正の整数解 $(x,y)$ があるとき、

$$ 7x+13y=n $$

より、$x$ は $13$ を法として一つの合同類に限られる。実際、

$$ 7x\equiv n \pmod{13} $$

であり、$7$ と $13$ は互いに素である。

したがって、正の整数解に現れる $x$ の値は、ある正の整数 $r$ を用いて

$$ r,\ r+13,\ r+26,\ \dots $$

の形で並ぶ。

正の整数解がちょうど $3$ 組あるなら、少なくとも $3$ 番目の解が存在する。そのとき、$3$ 番目の $x$ は $r+26$ であり、$r\geqq 1$ だから

$$ x\geqq 27 $$

である。

また、正の整数解なので $y\geqq 1$ である。したがって、その解に対して

$$ n=7x+13y\geqq 7\cdot 27+13\cdot 1=202 $$

となる。よって、条件を満たす $n$ は少なくとも $202$ 以上である。

次に、$n=202$ のとき実際に正の整数解がちょうど $3$ 組あることを確認する。

$$ 7x+13y=202 $$

を考える。$13$ を法として見ると、

$$ 7x\equiv 202 \pmod{13} $$

である。$202\equiv 7\pmod{13}$ だから、

$$ 7x\equiv 7 \pmod{13} $$

より

$$ x\equiv 1 \pmod{13} $$

である。

また、$y$ が正の整数であるためには

$$ 202-7x\geqq 13 $$

でなければならない。よって

$$ x\leqq 27 $$

である。

したがって、正の整数 $x$ は

$$ x=1,\ 14,\ 27 $$

に限られる。それぞれに対応する $y$ は

$$ (x,y)=(1,15),\ (14,8),\ (27,1) $$

である。

よって、$n=202$ のとき正の整数解はちょうど $3$ 組である。

したがって

$$ m=10n=10\cdot 202=2020 $$

である。

解説

整数解の存在は、係数の最大公約数で判定するのが基本である。

一方、正の整数解の個数を数える部分では、単に最大公約数を見るだけでは不十分である。$70x+130y=m$ を $10$ で割り、$7x+13y=n$ としてから、$x$ の合同条件を見るのが自然である。

$7x+13y=n$ では、$x$ は $13$ を法として一つの合同類に固定される。そのため、解に現れる $x$ は $13$ ずつ増える。この構造を使うと、「ちょうど $3$ 組」の最小値を効率よく調べられる。

答え

(1)

$$ m_0=10 $$

(2)

$$ x=2+13t,\quad y=-1-7t \quad (t\in\mathbb{Z}) $$

(3)

$$ m=2020 $$