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数学A 無限降下法問題 1 解説

方針・初手

(1) は法 $3$ で平方数の余りを見る。(2) は法 $9$ で立方数の余りを見る。特に (2) では、解が存在すると仮定して $x,y,z$ がすべて $3$ の倍数になることを示し、同じ形のより小さい解を作ることで無限降下法を用いる。

解法1

(1)

与えられた式

$$ x^2+4y^2=9z^2 $$

を法 $3$ で見る。$4\equiv 1 \pmod{3}$、$9z^2\equiv 0 \pmod{3}$ より、

$$ x^2+y^2\equiv 0 \pmod{3} $$

である。

平方数を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ である。したがって、$x^2+y^2\equiv 0 \pmod{3}$ となるには、

$$ x^2\equiv 0 \pmod{3},\qquad y^2\equiv 0 \pmod{3} $$

でなければならない。

よって、

$$ x\equiv 0 \pmod{3},\qquad y\equiv 0 \pmod{3} $$

である。したがって、$x$ と $y$ はいずれも $3$ の倍数である。

次に、実際に条件を満たす自然数の例を挙げる。例えば

$$ x=9,\qquad y=6,\qquad z=5 $$

とすると、

$$ x^2+4y^2=9^2+4\cdot 6^2=81+144=225 $$

であり、

$$ 9z^2=9\cdot 5^2=225 $$

となる。よって、

$$ 9^2+4\cdot 6^2=9\cdot 5^2 $$

であるから、これは条件を満たす例である。

(2)

自然数 $x,y,z$ が

$$ x^3+4y^3=9z^3 $$

を満たすと仮定する。

まず、法 $9$ で立方数の余りを調べる。任意の整数 $n$ について、$n^3$ を $9$ で割った余りは

$$ 0,\ 1,\ -1 $$

のいずれかである。

したがって、

$$ x^3\equiv 0,\pm 1 \pmod{9} $$

であり、また

$$ 4y^3\equiv 0,\pm 4 \pmod{9} $$

である。

一方、右辺 $9z^3$ は $9$ の倍数なので、

$$ x^3+4y^3\equiv 0 \pmod{9} $$

でなければならない。

ここで、$x^3$ の可能な余り $0,\pm 1$ と、$4y^3$ の可能な余り $0,\pm 4$ を足して $0$ になるのは、法 $9$ において

$$ x^3\equiv 0 \pmod{9},\qquad 4y^3\equiv 0 \pmod{9} $$

の場合だけである。

よって、

$$ x^3\equiv 0 \pmod{9},\qquad y^3\equiv 0 \pmod{9} $$

であるから、$x,y$ はともに $3$ の倍数である。

したがって、ある自然数 $a,b$ を用いて

$$ x=3a,\qquad y=3b $$

と書ける。これを元の式に代入すると、

$$ (3a)^3+4(3b)^3=9z^3 $$

であるから、

$$ 27a^3+108b^3=9z^3 $$

となる。両辺を $9$ で割ると、

$$ 3a^3+12b^3=z^3 $$

すなわち

$$ 3(a^3+4b^3)=z^3 $$

である。したがって $z^3$ は $3$ の倍数であり、$z$ も $3$ の倍数である。

そこで、ある自然数 $c$ を用いて

$$ z=3c $$

と書ける。これを

$$ 3(a^3+4b^3)=z^3 $$

に代入すると、

$$ 3(a^3+4b^3)=27c^3 $$

より、

$$ a^3+4b^3=9c^3 $$

を得る。

これは、もとの式

$$ x^3+4y^3=9z^3 $$

と同じ形の式であり、しかも

$$ a=\frac{x}{3},\qquad b=\frac{y}{3},\qquad c=\frac{z}{3} $$

であるから、もとの解より小さい自然数解を与える。

したがって、もし自然数解が存在するなら、同じ議論を繰り返すことで、いくらでも小さい自然数解が存在することになる。しかし自然数は正の整数であり、無限に $3$ で割り続けることはできない。

これは矛盾である。よって、

$$ x^3+4y^3=9z^3 $$

を満たす自然数 $x,y,z$ は存在しない。

解説

(1) は平方数の法 $3$ における性質を使う典型問題である。平方数の余りが $0,1$ だけであることから、和が $0$ になるには両方とも $0$ でなければならない。

(2) では法 $3$ では情報が足りないため、法 $9$ で立方数を見る。立方数の法 $9$ における余りが $0,\pm1$ に限られることを使うと、$x,y$ がともに $3$ の倍数であることが分かる。さらに式から $z$ も $3$ の倍数となり、同じ形のより小さい解が得られる。これが無限降下法である。