数学A 無限降下法 問題 2 解説

方針・初手

合同式を用いて平方数を $3$ で割った余りを調べる。まず平方数の余りが $0,1$ に限られることを示し、それを $a^2+b^2=3c^2$ に適用する。

最後は、解が存在すると仮定すると $a,b,c$ がすべて $3$ で割り切れ、同じ形のより小さい自然数解が得られることを用いる。これは無限降下法である。

解法1

まず （1） を示す。

任意の自然数 $a$ を $3$ で割った余りは $0,1,2$ のいずれかである。したがって、次の $3$ 通りに分けられる。

(i)

$a\equiv 0\pmod 3$ のとき、

$$ a^2\equiv 0^2\equiv 0\pmod 3 $$

である。

(ii)

$a\equiv 1\pmod 3$ のとき、

$$ a^2\equiv 1^2\equiv 1\pmod 3 $$

である。

(iii)

$a\equiv 2\pmod 3$ のとき、

$$ a^2\equiv 2^2=4\equiv 1\pmod 3 $$

である。

よって、任意の自然数 $a$ に対して、$a^2$ を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ である。

次に （2） を示す。

自然数 $a,b,c$ が

$$ a^2+b^2=3c^2 $$

を満たすと仮定する。右辺 $3c^2$ は $3$ の倍数であるから、

$$ a^2+b^2\equiv 0\pmod 3 $$

である。

ここで （1） より、$a^2,b^2$ を $3$ で割った余りはそれぞれ $0$ または $1$ である。したがって、$a^2+b^2$ を $3$ で割った余りは、可能性として

$$ 0+0,\quad 0+1,\quad 1+0,\quad 1+1 $$

のいずれかである。

これらを $3$ で割った余りとして見ると、

$$ 0,\quad 1,\quad 1,\quad 2 $$

である。$a^2+b^2\equiv 0\pmod 3$ でなければならないので、可能なのは

$$ a^2\equiv 0\pmod 3,\qquad b^2\equiv 0\pmod 3 $$

の場合だけである。

（1） の結果から、平方数が $3$ で割り切れるのは、もとの数が $3$ で割り切れるときに限る。よって、

$$ 3\mid a,\qquad 3\mid b $$

である。

したがって、ある自然数 $a_1,b_1$ を用いて

$$ a=3a_1,\qquad b=3b_1 $$

と書ける。これを $a^2+b^2=3c^2$ に代入すると、

$$ (3a_1)^2+(3b_1)^2=3c^2 $$

すなわち

$$ 9a_1^2+9b_1^2=3c^2 $$

である。両辺を $3$ で割ると、

$$ 3a_1^2+3b_1^2=c^2 $$

となる。よって、

$$ c^2=3(a_1^2+b_1^2) $$

であるから、$c^2$ は $3$ で割り切れる。したがって再び （1） より、

$$ 3\mid c $$

である。

以上より、$a,b,c$ はすべて $3$ で割り切れる。

最後に （3） を示す。

自然数 $a,b,c$ が

$$ a^2+b^2=3c^2 $$

を満たすと仮定する。

（2） より、$a,b,c$ はすべて $3$ で割り切れる。したがって、ある自然数 $a_1,b_1,c_1$ を用いて

$$ a=3a_1,\qquad b=3b_1,\qquad c=3c_1 $$

と書ける。

これをもとの式に代入すると、

$$ (3a_1)^2+(3b_1)^2=3(3c_1)^2 $$

である。整理すると、

$$ 9a_1^2+9b_1^2=27c_1^2 $$

であり、両辺を $9$ で割って

$$ a_1^2+b_1^2=3c_1^2 $$

を得る。

つまり、$(a,b,c)$ が自然数解ならば、$(a_1,b_1,c_1)$ も同じ方程式の自然数解である。しかも

$$ c_1=\frac{c}{3}<c $$

である。

同じ議論を繰り返すと、さらに小さい自然数解

$$ (a_2,b_2,c_2),\quad (a_3,b_3,c_3),\quad \cdots $$

が得られ、

$$ c>c_1>c_2>c_3>\cdots $$

という自然数の無限に続く狭義減少列ができる。

しかし、自然数にこのような無限に続く狭義減少列は存在しない。これは矛盾である。

したがって、

$$ a^2+b^2=3c^2 $$

を満たす自然数 $a,b,c$ は存在しない。

解説

この問題の中心は、平方数の $3$ による余りが $0,1$ に限られるという事実である。

特に （2） では、$a^2+b^2$ が $3$ の倍数になるためには、$a^2$ と $b^2$ がともに $3$ の倍数でなければならない点が重要である。$1+2\equiv 0\pmod 3$ のような可能性は、平方数の余りには $2$ が現れないため起こらない。

（3） は無限降下法の典型である。解があると仮定すると、すべての文字が $3$ で割り切れ、割った後も同じ形の方程式を満たす。これにより、より小さい自然数解が無限に作れてしまうため、自然数の性質に反する。

答え

(1)

任意の自然数 $a$ について、$a^2$ を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ である。

(2)

$a^2+b^2=3c^2$ を満たす自然数 $a,b,c$ が存在すると仮定すると、$a,b,c$ はすべて $3$ で割り切れる。

(3)

$a^2+b^2=3c^2$ を満たす自然数 $a,b,c$ は存在しない。