数学A 整数問題 問題 6 解説

方針・初手

左辺の2次式は、そのままでは扱いにくいが、$x$ に注目して平方完成すると簡単な平方和になる。

特に、$x^2-2xy-2xz$ の部分から $x-y-z$ を作るのが初手である。

解法1

与えられた方程式は

$$ x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-5=0 $$

である。左辺の2次式を平方完成すると、

$$ \begin{aligned} x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz &=(x-y-z)^2+y^2+z^2 \end{aligned} $$

である。実際、

$$ (x-y-z)^2=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz $$

なので、これに $y^2+z^2$ を加えれば元の2次式になる。

したがって方程式は

$$ (x-y-z)^2+y^2+z^2=5 $$

となる。

ここで $x,y,z$ は正の整数であるから、特に $y,z$ は正の整数である。よって

$$ y^2+z^2 \leqq 5 $$

を満たす正の整数 $y,z$ を調べればよい。

正の整数の平方は $1,4,9,\cdots$ であるから、$y^2+z^2 \leqq 5$ を満たす可能性は

$$ (y,z)=(1,1),(1,2),(2,1) $$

のみである。

それぞれ調べる。

(i)

$(y,z)=(1,1)$ のとき

$$ (x-1-1)^2+1^2+1^2=5 $$

より

$$ (x-2)^2=3 $$

となる。これは整数 $x$ では成り立たない。

(ii)

$(y,z)=(1,2)$ のとき

$$ (x-1-2)^2+1^2+2^2=5 $$

より

$$ (x-3)^2=0 $$

である。したがって

$$ x=3 $$

となり、$(x,y,z)=(3,1,2)$ を得る。

(iii)

$(y,z)=(2,1)$ のとき

$$ (x-2-1)^2+2^2+1^2=5 $$

より

$$ (x-3)^2=0 $$

である。したがって

$$ x=3 $$

となり、$(x,y,z)=(3,2,1)$ を得る。

以上より、求める正の整数の組は

$$ (x,y,z)=(3,1,2),(3,2,1) $$

である。

解説

この問題の要点は、2次式を平方和に変形することである。

元の式を $x$ の2次式として見ると、$x$ に関係する項は

$$ x^2-2x(y+z) $$

であり、ここから $x-y-z$ の平方を作ると自然に整理できる。

平方和

$$ (x-y-z)^2+y^2+z^2=5 $$

まで変形できれば、$y,z$ が正の整数であることから候補が非常に少なくなる。あとは小さい場合を漏れなく調べればよい。

答え

$$ (x,y,z)=(3,1,2),(3,2,1) $$