数学A 整数問題 問題 7 解説

方針・初手

(1) は式を因数分解して、連続する $5$ 個の整数の積として表す。

(2) は $30=2\cdot 3\cdot 5$ であり、$2,3,5$ は互いに素であることを用いる。$n^5-n$ がそれぞれ $2,3,5$ の倍数であることを示せばよい。

解法1

まず (1) を示す。

$$ \begin{aligned} (n^5-n)-5(n^3-n) &=n^5-n-5n^3+5n \\ &=n^5-5n^3+4n \\ &=n(n^4-5n^2+4) \\ &=n(n^2-1)(n^2-4) \\ &=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) \end{aligned} $$

これは、連続する $5$ 個の整数

$$ n-2,\ n-1,\ n,\ n+1,\ n+2 $$

の積である。

一般に、連続する $m$ 個の整数の積は $m$ の倍数であるから、$m=5$ として、

$$ (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) $$

は $5$ の倍数である。

したがって、

$$ (n^5-n)-5(n^3-n) $$

は $5$ の倍数である。

次に (2) を示す。

$$ n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1) $$

である。

まず、$(n-1)n$ は連続する $2$ 個の整数の積であるから、$2$ の倍数である。よって $n^5-n$ は $2$ の倍数である。

また、$(n-1)n(n+1)$ は連続する $3$ 個の整数の積であるから、$3$ の倍数である。よって $n^5-n$ は $3$ の倍数である。

さらに、(1) より

$$ (n^5-n)-5(n^3-n) $$

は $5$ の倍数である。一方で、$5(n^3-n)$ は明らかに $5$ の倍数である。したがって、その和である

$$ n^5-n={(n^5-n)-5(n^3-n)}+5(n^3-n) $$

も $5$ の倍数である。

以上より、$n^5-n$ は $2,3,5$ のいずれの倍数でもある。

ここで $2,3,5$ は互いに素であり、

$$ 2\cdot 3\cdot 5=30 $$

であるから、$n^5-n$ は $30$ の倍数である。

解説

(1) の核心は、式を展開して見るのではなく、

$$ n^5-5n^3+4n $$

を

$$ (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) $$

と因数分解する点である。これにより、問題文で与えられた「連続する $m$ 個の整数の積は $m$ の倍数である」という事実をそのまま使える。

(2) では、$30$ の倍数であることを直接示すより、$30=2\cdot 3\cdot 5$ に分けて考えるのが自然である。$2$ と $3$ については連続整数の積からすぐに分かる。$5$ については (1) の結果を利用するのが、この問題の意図に沿った解法である。

答え

(1)

$$ (n^5-n)-5(n^3-n)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) $$

であり、これは連続する $5$ 個の整数の積であるから $5$ の倍数である。

(2)

$n^5-n$ は $2,3,5$ の倍数である。$2,3,5$ は互いに素なので、$n^5-n$ は $30$ の倍数である。