数学A 整数問題 問題 12 解説

方針・初手

$64$ を素因数分解すると $64=2^6$ である。

積 $lmn$ が $2$ だけを素因数にもつので、正の整数 $l,m,n$ はいずれも $2$ の累乗でなければならない。したがって、各数に含まれる $2$ の指数を分配する問題に言い換える。

解法1

$64=2^6$ であるから、条件 $lmn=64$ を満たす正の整数 $l,m,n$ は

$$ l=2^a,\quad m=2^b,\quad n=2^c $$

と表せる。ただし $a,b,c$ は $0$ 以上の整数である。

このとき

$$ lmn=2^a\cdot 2^b\cdot 2^c=2^{a+b+c} $$

であるから、条件 $lmn=64=2^6$ は

$$ a+b+c=6 $$

と同値である。

したがって、求める個数は、$0$ 以上の整数 $a,b,c$ について

$$ a+b+c=6 $$

を満たす組の個数である。

これは、$6$ 個の同じものを $3$ つの箱に分ける場合の数であり、

$$ {}*{6+3-1}C*{3-1}={}_8C_2=28 $$

である。

よって、求める組 $(l,m,n)$ の個数は $28$ 個である。

解法2

$l=2^a$ とおくと、$a$ は

$$ 0\leq a\leq 6 $$

を満たす整数である。

$a$ を固定すると、残りは

$$ mn=2^{6-a} $$

を満たせばよい。ここで $m=2^b,\ n=2^c$ とおけば

$$ b+c=6-a $$

である。

$0$ 以上の整数 $b,c$ で $b+c=6-a$ を満たす組の個数は

$$ (6-a)+1=7-a $$

である。

したがって、全体の個数は

$$ \sum_{a=0}^{6}(7-a) =7+6+5+4+3+2+1 =28 $$

である。

解説

この問題では、$64$ が $2^6$ であることから、$l,m,n$ のそれぞれは $2$ の累乗に限られる点が重要である。

また、$(l,m,n)$ という順序付きの組を数えるので、例えば $(1,2,32)$ と $(2,1,32)$ は別の組として数える。指数 $a,b,c$ を用いて $a+b+c=6$ に変換すれば、重複や数え漏れを避けて処理できる。

答え

$$ 28 $$