数学A 整数問題 問題 14 解説

方針・初手

積が $20$ であることから、2つの因数を正の約数の組として調べる。$x,y$ は自然数なので $2x+y-1>0$ であり、積が正であるため $x-y+4>0$ も成り立つ。

解法1

次のようにおく。

$$ a=2x+y-1,\qquad b=x-y+4 $$

すると

$$ ab=20 $$

であり、$a,b$ は正の整数である。

また、$a,b$ から $x,y$ を表す。2式を足すと

$$ a+b=(2x+y-1)+(x-y+4)=3x+3 $$

より

$$ x=\frac{a+b-3}{3} $$

である。また、$b=x-y+4$ より $y=x+4-b$ だから、

$$ y=\frac{a+b-3}{3}+4-b=\frac{a-2b+9}{3} $$

となる。

したがって、正の整数の組 $(a,b)$ は

$$ (1,20),\ (2,10),\ (4,5),\ (5,4),\ (10,2),\ (20,1) $$

に限られる。

それぞれについて $x,y$ を調べる。

$$ \begin{array}{c|c|c|c} (a,b) & x=\dfrac{a+b-3}{3} & y=\dfrac{a-2b+9}{3} & x+y \\ \hline (1,20) & 6 & -10 & \text{不適} \\ (2,10) & 3 & -3 & \text{不適} \\ (4,5) & 2 & 1 & 3 \\ (5,4) & 2 & 2 & 4 \\ (10,2) & 3 & 5 & 8 \\ (20,1) & 6 & 9 & 15 \end{array} $$

自然数 $x,y$ を満たすものは

$$ (x,y)=(2,1),(2,2),(3,5),(6,9) $$

である。

このうち $x+y$ が最大となるのは

$$ (x,y)=(6,9) $$

のときで、

$$ x+y=6+9=15 $$

である。

解説

積が一定の整数である問題では、因数を約数の組として有限個に絞るのが基本である。

ここで注意すべき点は、$x-y+4$ が正とは最初から明記されていないことである。しかし $x,y$ は自然数なので $2x+y-1>0$ であり、積が $20>0$ であることから $x-y+4$ も正でなければならない。したがって、正の約数の組だけを調べればよい。

答え

$$ \boxed{15} $$