数学A 整数問題 問題 15 解説

方針・初手

共通の値をそのまま扱うより、各式を

$$ ab+2b-a=(a+2)(b-1)+2 $$

と変形するのが初手である。これにより、3つの条件を1つの循環的な写像として処理できる。

解法1

共通の値を $K$ とし、$d=K-2$ とおく。このとき

$$ (a+2)(b-1)=(b+2)(c-1)=(c+2)(a-1)=d $$

である。

まず $d\neq 0$ を確認する。もし $d=0$ なら

$$ (a+2)(b-1)=0,\quad (b+2)(c-1)=0,\quad (c+2)(a-1)=0 $$

である。第3式より $c=-2$ または $a=1$ である。

(i)

$a=1$ のとき、第1式より $3(b-1)=0$ となり、$b=1$ である。これは $a,b,c$ が相異なることに反する。

(ii)

$a\neq 1$ のとき、第3式より $c=-2$ である。すると第2式より $(b+2)(-3)=0$ なので $b=-2$ となり、$b=c$ である。これも相異なることに反する。

よって $d\neq 0$ である。

したがって $a+2,b+2,c+2$ はいずれも $0$ でない。そこで

$$ f(x)=1+\frac{d}{x+2} $$

とおくと、

$$ b=f(a),\quad c=f(b),\quad a=f(c) $$

である。したがって

$$ f(f(f(a)))=a $$

が成り立つ。

ここで計算すると

$$ \begin{aligned} f(f(f(x)))-x &= -\frac{(d+9){(x+2)(x-1)-d}}{dx+5d+9x+18} \end{aligned} $$

である。これに $x=a$ を代入する。

分母は、もとの $a,b,c$ が実数として定まっているので $0$ ではない。また

$$ (a+2)(a-1)-d=0 $$

ならば、$d=(a+2)(b-1)$ と合わせて

$$ (a+2)(a-1)=(a+2)(b-1) $$

となる。$d\neq 0$ より $a+2\neq 0$ だから、$a=b$ となり、相異なる条件に反する。

したがって残る可能性は

$$ d+9=0 $$

であり、

$$ d=-9 $$

である。よって

$$ K=d+2=-7 $$

となる。したがって

$$ ab+2b-a=-7 $$

である。

次に、$d=-9$ より

$$ (a+2)(b-1)=-9 $$

なので

$$ b=1-\frac{9}{a+2}=\frac{a-7}{a+2} $$

である。また

$$ c=1-\frac{9}{b+2} $$

に代入すると

$$ c=-\frac{2a+7}{a-1} $$

となる。ここで $a\neq -2,1$ である。

まず $a,b,c$ がすべて整数である場合を調べる。すべて整数なら特に $a,b$ は整数であるから、

$$ b=1-\frac{9}{a+2} $$

より、$a+2$ は $9$ の約数でなければならない。したがって

$$ a+2=\pm1,\pm3,\pm9 $$

である。ただし $a=1$ は除くので、候補は

$$ a=-11,-5,-3,-1,7 $$

である。

それぞれについて $b,c$ を求めると、次のようになる。

$a$	$b$	$c$
$-11$	$2$	$-\dfrac{5}{4}$
$-5$	$4$	$-\dfrac{1}{2}$
$-3$	$10$	$\dfrac{1}{4}$
$-1$	$-8$	$\dfrac{5}{2}$
$7$	$0$	$-\dfrac{7}{2}$

いずれの場合も $c$ は整数でない。よって、$a,b,c$ がすべて整数である組は存在しない。

次に、$a,b,c$ のうち少なくとも2つが整数である場合を数える。

まず $a,b$ が整数である場合は、上の表より5通りである。このとき $c$ はいずれも整数でない。

条件は $a,b,c$ に関して循環的であるから、$b,c$ が整数である場合も5通り、$c,a$ が整数である場合も5通りである。さらに、すべて整数である組は存在しないので、これらは重複しない。

したがって、少なくとも2つが整数である組の個数は

$$ 5+5+5=15 $$

である。

最後に、この15通りにおける $a+b+c$ の最大値と最小値を求める。循環的に並べ替えても和は変わらないので、上の5通りだけを調べればよい。

$(a,b,c)$	$a+b+c$
$\left(-11,2,-\dfrac{5}{4}\right)$	$-\dfrac{41}{4}$
$\left(-5,4,-\dfrac{1}{2}\right)$	$-\dfrac{3}{2}$
$\left(-3,10,\dfrac{1}{4}\right)$	$\dfrac{29}{4}$
$\left(-1,-8,\dfrac{5}{2}\right)$	$-\dfrac{13}{2}$
$\left(7,0,-\dfrac{7}{2}\right)$	$\dfrac{7}{2}$

よって最大値は

$$ \frac{29}{4} $$

であり、最小値は

$$ -\frac{41}{4} $$

である。

解説

この問題の核心は、式

$$ ab+2b-a $$

をそのまま扱わず、

$$ ab+2b-a=(a+2)(b-1)+2 $$

と見ることである。これにより、条件が

$$ (a+2)(b-1)=(b+2)(c-1)=(c+2)(a-1) $$

という循環構造になる。

その後は、共通値から2を引いた値を $d$ とおき、$b=f(a),c=f(b),a=f(c)$ という3周期の形に落とす。相異なる3つの実数という条件により、固定点の場合を排除できるため、$d=-9$ が強制される。

整数条件では、$b=1-\dfrac{9}{a+2}$ から $a+2$ が $9$ の約数であることを使う。ここで全整数解が存在しないことを確認してから、循環対称性により「少なくとも2つが整数」の個数を3倍するのが効率的である。

答え

(1)

$$ \boxed{-7} $$

(2)

$$ \boxed{0} $$

(3)

少なくとも2つが整数である組の個数は

$$ \boxed{15} $$

である。

その中で $a+b+c$ の最大値は

$$ \boxed{\frac{29}{4}} $$

であり、最小値は

$$ \boxed{-\frac{41}{4}} $$