数学A 整数問題 問題 22 解説

方針・初手

$x^2+y^2<9$ より、$x,y$ はともに $-2,-1,0,1,2$ の範囲に限られる。

さらに $x^2\leqq y^2$ は $|x|\leqq |y|$ と同値であるから、$|y|$ の値ごとに $x$ の個数を数える。

解法1

条件 $x^2+y^2<9$ より、

$$ y^2<9 $$

であるから、整数 $y$ は

$$ y=-2,-1,0,1,2 $$

に限られる。

また、$x^2\leqq y^2$ は

$$ |x|\leqq |y| $$

を意味する。

$y$ の値ごとに数える。

$y=0$ のとき、$|x|\leqq 0$ より $x=0$ のみである。このとき $x^2+y^2=0<9$ であるから、$1$ 個。

$y=\pm1$ のとき、$|x|\leqq 1$ より

$$ x=-1,0,1 $$

である。いずれも

$$ x^2+y^2\leqq 1+1=2<9 $$

を満たす。したがって、$y=1,-1$ のそれぞれで $3$ 個ずつあり、合計 $6$ 個。

$y=\pm2$ のとき、$|x|\leqq 2$ より

$$ x=-2,-1,0,1,2 $$

である。いずれも

$$ x^2+y^2\leqq 4+4=8<9 $$

を満たす。したがって、$y=2,-2$ のそれぞれで $5$ 個ずつあり、合計 $10$ 個。

以上より、求める整数の組の個数は

$$ 1+6+10=17 $$

である。

解説

この問題では、円の内部条件 $x^2+y^2<9$ により、整数点の候補が有限個に絞られる。

そのうえで、$x^2\leqq y^2$ を $|x|\leqq |y|$ と読み替えるのが重要である。平方の大小をそのまま扱うより、絶対値の大小に直した方が、$y$ ごとの場合分けで機械的に数えられる。

また、不等号が $x^2+y^2<9$ であり、$\leqq 9$ ではない点に注意する必要がある。ただし今回の範囲では、$|y|\leqq2$ かつ $|x|\leqq |y|$ としたとき最大でも $x^2+y^2=8$ なので、境界上の点を追加で除く必要はない。

答え

$$ \boxed{17} $$

したがって、アに入る数は

$$ \boxed{17} $$

である。