数学A 整数問題 問題 21 解説

方針・初手

式は $a,b,c,d$ について対称である。したがって、まず

$$ 1 \leq a \leq b \leq c \leq d $$

として解き、最後にその順列をすべて考えればよい。

解法1

$a \geq 2$ と仮定すると、$b,c,d \geq 2$ であるから

$$ abc \geq 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$

となる。よって

$$ abcd \geq 8d $$

である。

一方、$a \leq b \leq c \leq d$ より

$$ a+b+c+d \leq 4d $$

である。したがって $abcd=a+b+c+d$ は成り立たない。よって

$$ a=1 $$

でなければならない。

このとき、方程式は

$$ bcd=1+b+c+d $$

となる。これを $d$ について整理すると

$$ d(bc-1)=b+c+1 $$

である。

以下、$b$ について場合分けする。

(i)

$b=1$ のとき

方程式は

$$ cd=2+c+d $$

となる。移項して

$$ cd-c-d=2 $$

であり、左辺を因数分解できる形に直すと

$$ (c-1)(d-1)=3 $$

となる。

$c \leq d$ であるから

$$ c-1=1,\quad d-1=3 $$

のみが可能である。よって

$$ c=2,\quad d=4 $$

を得る。

したがって、この場合は

$$ (a,b,c,d)=(1,1,2,4) $$

である。

(ii)

$b=2$ のとき

方程式は

$$ d(2c-1)=c+3 $$

となる。よって

$$ d=\frac{c+3}{2c-1} $$

である。

$c \geq b=2$ である。$c=2$ のとき

$$ d=\frac{5}{3} $$

となり、整数でない。

また、$c \geq 3$ のとき

$$ 2c-1>c+3 $$

が $c\geq 5$ で成り立つので、その範囲では $d<1$ となり不可能である。

残る $c=3,4$ を調べると、

$$ c=3 \Rightarrow d=\frac{6}{5},\qquad c=4 \Rightarrow d=1 $$

である。前者は整数でなく、後者は $c \leq d$ に反する。

よって、この場合に解はない。

(iii)

$b \geq 3$ のとき

$d$ は正の整数であるから

$$ bc-1 \leq b+c+1 $$

が必要である。これを整理すると

$$ bc-b-c \leq 2 $$

すなわち

$$ (b-1)(c-1)\leq 3 $$

となる。

しかし、$b \geq 3$ かつ $c \geq b$ より

$$ (b-1)(c-1)\geq 2\cdot 2=4 $$

である。これは矛盾である。

したがって、この場合にも解はない。

以上より、$a \leq b \leq c \leq d$ と並べたときの解は

$$ (1,1,2,4) $$

のみである。

元の方程式は $a,b,c,d$ について対称なので、求める解は $(1,1,2,4)$ のすべての順列である。

解説

この問題では、はじめに文字の大小を仮定するのが有効である。式が対称なので、$a \leq b \leq c \leq d$ としても本質を失わない。

重要なのは、最小の数 $a$ が $2$ 以上だと積 $abcd$ が和 $a+b+c+d$ より大きくなりすぎる点である。これにより $a=1$ が決まり、その後は $b$ の小さい場合だけを調べればよい。

最後に順列を戻すことを忘れないようにする必要がある。

答え

$$(a,b,c,d)$$ は $(1,1,2,4)$ のすべての順列である。

すなわち

$$ (1,1,2,4),\ (1,1,4,2),\ (1,2,1,4),\ (1,2,4,1),\ (1,4,1,2),\ (1,4,2,1), $$

$$ (2,1,1,4),\ (2,1,4,1),\ (2,4,1,1),\ (4,1,1,2),\ (4,1,2,1),\ (4,2,1,1) $$

である。