数学A 整数問題 問題 24 解説

方針・初手

条件は

$$ 10000 \mid a^2-a $$

すなわち

$$ 10000 \mid a(a-1) $$

である。ここで $a$ と $a-1$ は連続する整数なので互いに素である。したがって、$10000=2^4\cdot 5^4$ の素因数 $2^4,5^4$ が、$a$ と $a-1$ のどちらに入るかを調べる。

解法1

$10000=2^4\cdot 5^4=16\cdot 625$ である。

$a$ は奇数なので、$a$ には $2$ の因数は含まれない。よって $a(a-1)$ が $16$ で割り切れるためには、

$$ a-1 \equiv 0 \pmod{16} $$

すなわち

$$ a \equiv 1 \pmod{16} $$

でなければならない。

また、$\gcd(a,a-1)=1$ であるから、$625=5^4$ は $a$ と $a-1$ の両方に分かれて入ることはない。したがって、

$$ a \equiv 0 \pmod{625} $$

または

$$ a \equiv 1 \pmod{625} $$

である。

よって、次の2つの場合を考える。

(i)

$a \equiv 1 \pmod{16},\ a \equiv 0 \pmod{625}$ の場合

$a=625k$ とおく。$625\equiv 1\pmod{16}$ であるから、

$$ a=625k \equiv k \pmod{16} $$

である。これが $1\pmod{16}$ になるためには、

$$ k \equiv 1 \pmod{16} $$

が必要である。

$3\leq a\leq 9999$ より、

$$ 3\leq 625k\leq 9999 $$

なので、$1\leq k\leq 15$ である。この範囲で $k\equiv 1\pmod{16}$ を満たすのは

$$ k=1 $$

のみである。したがって、

$$ a=625 $$

を得る。

(ii)

$a \equiv 1 \pmod{16},\ a \equiv 1 \pmod{625}$ の場合

$16$ と $625$ は互いに素なので、中国剰余定理より

$$ a \equiv 1 \pmod{10000} $$

である。

しかし $3\leq a\leq 9999$ の範囲に、$a\equiv 1\pmod{10000}$ を満たす整数は存在しない。よってこの場合は解を与えない。

以上より、条件を満たす候補は

$$ a=625 $$

のみである。

実際、

$$ 625^2-625=625\cdot 624=625\cdot 16\cdot 39=10000\cdot 39 $$

であるから、$10000$ で割り切れる。

解説

連続する整数 $a$ と $a-1$ が互いに素であることを使うのが要点である。互いに素な2数の積が $2^4\cdot 5^4$ で割り切れるとき、各素数べきはどちらか一方の因数にまとめて入る。

特に $a$ が奇数であるため、$2^4$ は必ず $a-1$ に入る。この条件から $a\equiv 1\pmod{16}$ が得られ、さらに $5^4$ について $a\equiv 0\pmod{625}$ または $a\equiv 1\pmod{625}$ に分かれる。

答え

$$ \boxed{625} $$