数学A 整数問題 問題 25 解説

注意

画像では $f(n)=(2n+1)(2n+3)(2n+5)(2n+7)(2n+9)$ と読める。ユーザー入力のように $(2n+7)^2$ があると、(1) の右辺の係数は定数にならず、設問と矛盾する。以下は画像の読み取りに従い、$(2n+7)$ に指数 $2$ は付かないものとして解説する。

方針・初手

積の形

$$ (2k+1)(2k+3)(2k+5)(2k+7) $$

が和の各項に現れているので、$f(k)-f(k-1)$ を計算して、この積をくくり出す。すると和は階差の和となり、望ましい形に望遠和で整理できる。

解法1

$f(n)$ は

$$ f(n)=(2n+1)(2n+3)(2n+5)(2n+7)(2n+9) $$

である。

まず $f(k)$ と $f(k-1)$ を書くと、

$$ f(k)=(2k+1)(2k+3)(2k+5)(2k+7)(2k+9) $$

であり、

$$ f(k-1)=(2k-1)(2k+1)(2k+3)(2k+5)(2k+7) $$

である。

したがって、共通因数 $(2k+1)(2k+3)(2k+5)(2k+7)$ をくくると、

$$ \begin{aligned} f(k)-f(k-1) &=(2k+1)(2k+3)(2k+5)(2k+7){(2k+9)-(2k-1)} \\ &=(2k+1)(2k+3)(2k+5)(2k+7)\cdot 10. \end{aligned} $$

よって

$$ f(k)-f(k-1)=10(2k+1)(2k+3)(2k+5)(2k+7) $$

であるから、

$$ a=10 $$

である。

次に、この式を変形すると、

$$ (2k+1)(2k+3)(2k+5)(2k+7)=\frac{f(k)-f(k-1)}{10} $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{m}(2k+1)(2k+3)(2k+5)(2k+7) &=\frac{1}{10}\sum_{k=1}^{m}{f(k)-f(k-1)} \\ &=\frac{1}{10}{f(m)-f(0)}. \end{aligned} $$

ここで、

$$ f(0)=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945 $$

である。

よって、

$$ \sum_{k=1}^{m}(2k+1)(2k+3)(2k+5)(2k+7)=\frac{f(m)-945}{10} $$

となる。

解説

この問題の中心は、与えられた $f(n)$ が和の各項を作るために設計されていることを見抜く点である。

$f(k)$ と $f(k-1)$ は、連続する奇数の積が1つずつずれている。その差を取ると、共通部分として

$$ (2k+1)(2k+3)(2k+5)(2k+7) $$

が残る。したがって、各項を $f(k)-f(k-1)$ の形に直せば、和全体は

$$ {f(1)-f(0)}+{f(2)-f(1)}+\cdots+{f(m)-f(m-1)} $$

となり、途中の項がすべて打ち消し合う。

このような処理は、積の形をした数列の和でよく用いられる望遠和の典型である。

答え

(1)

$$ a=10 $$

(2)

$$ \sum_{k=1}^{m}(2k+1)(2k+3)(2k+5)(2k+7)=\frac{f(m)-945}{10} $$