数学A 整数問題 問題 27 解説

方針・初手

条件

$$ x^2+y^2+z^2=xyz,\qquad x\leqq y\leqq z $$

は、$z$ について見ると二次方程式になる。また、(2) では $(a,b,c)$ が解なら、$b,c$ を固定した二次方程式のもう一つの解を利用するのが自然である。

解法1

(1)

$y\leqq 3$ であり、$x\leqq y$ だから、$y=1,2,3$ の場合に分ければよい。

(i) $y=1$ のとき

$x\leqq y=1$ かつ $x$ は正の整数なので、$x=1$ である。したがって

$$ 1^2+1^2+z^2=z $$

より

$$ z^2-z+2=0 $$

となる。この判別式は

$$ 1-8=-7<0 $$

であるから、正の整数解は存在しない。

(ii) $y=2$ のとき

$x=1,2$ である。

$x=1$ のとき、

$$ 1^2+2^2+z^2=2z $$

より

$$ z^2-2z+5=0 $$

であり、判別式は

$$ 4-20=-16<0 $$

であるから解はない。

$x=2$ のとき、

$$ 2^2+2^2+z^2=4z $$

より

$$ z^2-4z+8=0 $$

であり、判別式は

$$ 16-32=-16<0 $$

であるから解はない。

(iii) $y=3$ のとき

$x=1,2,3$ である。

$x=1$ のとき、

$$ 1^2+3^2+z^2=3z $$

より

$$ z^2-3z+10=0 $$

であり、判別式は

$$ 9-40=-31<0 $$

であるから解はない。

$x=2$ のとき、

$$ 2^2+3^2+z^2=6z $$

より

$$ z^2-6z+13=0 $$

であり、判別式は

$$ 36-52=-16<0 $$

であるから解はない。

$x=3$ のとき、

$$ 3^2+3^2+z^2=9z $$

より

$$ z^2-9z+18=0 $$

となる。これを解くと

$$ (z-3)(z-6)=0 $$

であるから、

$$ z=3,6 $$

を得る。いずれも $3\leqq z$ を満たす。

よって、$y\leqq 3$ となる組は

$$ (3,3,3),\ (3,3,6) $$

である。

(2)

$(a,b,c)$ が条件(A)を満たすとする。すなわち

$$ a^2+b^2+c^2=abc,\qquad a\leqq b\leqq c $$

である。

$b,c$ を固定し、$t$ についての二次方程式

$$ t^2-bct+b^2+c^2=0 $$

を考える。$t=a$ はこの方程式の解である。したがって、もう一つの解を $x$ とおくと、解と係数の関係より

$$ a+x=bc $$

であるから、

$$ x=bc-a $$

である。よって $x$ は整数である。

また、二次方程式のもう一つの解であるから、

$$ x^2-bcx+b^2+c^2=0 $$

すなわち

$$ x^2+b^2+c^2=bcx $$

が成り立つ。したがって、組 $(b,c,x)$ は方程式を満たす。

あとは $b\leqq c\leqq x$ を示せばよい。まず $b=1$ とすると、$a\leqq b=1$ より $a=1$ である。このとき

$$ 1^2+1^2+c^2=c $$

となるが、これは

$$ c^2-c+2=0 $$

であり、正の整数解をもたない。よって $b\geqq 2$ である。

$a\leqq b$ より

$$ x=bc-a\geqq bc-b=b(c-1) $$

である。ここで $b\geqq 2$ かつ $c\geqq b$ だから、

$$ b(c-1)\geqq c $$

が成り立つ。実際、

$$ b(c-1)-c=(b-1)c-b\geqq c-b\geqq 0 $$

である。

したがって

$$ x\geqq c $$

であり、もともと $b\leqq c$ だから、組 $(b,c,x)$ は条件(A)を満たす。

(3)

(1)より、

$$ (3,3,3) $$

は条件(A)を満たす。

(2)を用いると、条件(A)を満たす組 $(a,b,c)$ から、再び条件(A)を満たす組

$$ (b,c,bc-a) $$

を作ることができる。

さらに、この操作で得られる第3成分はもとの第3成分より大きいことを示す。

(2)と同様に $b\geqq 2$ であり、

$$ bc-a\geqq bc-b=b(c-1) $$

である。もし $bc-a=c$ ならば、

$$ a=c(b-1) $$

である。ところが $a\leqq c$ なので

$$ c(b-1)\leqq c $$

より $b\leqq 2$ である。$b\geqq 2$ と合わせて $b=2$ である。

このとき $a=c$ となるが、$a\leqq b\leqq c$ より

$$ a=b=c=2 $$

でなければならない。しかし

$$ 2^2+2^2+2^2=12,\qquad 2\cdot2\cdot2=8 $$

であり、条件(A)を満たさない。したがって

$$ bc-a>c $$

である。

よって、$(3,3,3)$ から始めて

$$ (a,b,c)\mapsto (b,c,bc-a) $$

を繰り返すと、条件(A)を満たす組が次々に得られ、しかも第3成分は毎回真に大きくなる。例えば

$$ (3,3,3)\mapsto (3,3,6)\mapsto (3,6,15)\mapsto (6,15,87)\mapsto \cdots $$

である。

第3成分が真に増加するので、これらの組はすべて相異なる。したがって、条件(A)を満たす組 $(a,b,c)$ は無数に存在する。

解説

この問題の中心は、方程式を一つの文字について二次方程式と見ることである。

特に (2) では、$(a,b,c)$ が解であることを利用して、$b,c$ を固定した二次方程式

$$ t^2-bct+b^2+c^2=0 $$

のもう一つの解を考える。この操作は、整数解を別の整数解へ移す典型的な方法である。

(3) では、単に新しい解を作れるだけでなく、得られる第3成分が真に大きくなることを確認する必要がある。これにより、同じ解を繰り返しているだけではなく、無限個の異なる解が得られることが保証される。

答え

(1)

$$ (3,3,3),\ (3,3,6) $$

(2)

$(a,b,c)$ が条件(A)を満たすとき、

$$ x=bc-a $$

とおけば、組 $(b,c,x)$ は条件(A)を満たす。

(3)

$(3,3,3)$ から始めて

$$ (a,b,c)\mapsto (b,c,bc-a) $$

を繰り返すことで、条件(A)を満たす相異なる組が無限個得られる。したがって、条件(A)を満たす組 $(a,b,c)$ は無数に存在する。