数学A 整数問題 問題 26 解説

方針・初手

$n=1$ では整数条件と $x\leqq y\leqq z$ を使って、まず $xy$ の範囲を絞る。

$n=3$ では、左辺 $x^3+y^3+z^3$ と右辺 $xyz$ を相加平均・相乗平均の不等式で比較する。

解法1

$n=1$ の場合

方程式は

$$ x+y+z=xyz $$

である。$x,y,z$ は正の整数で、$x\leqq y\leqq z$ だから、

$$ x+y+z\leqq z+z+z=3z $$

である。一方、方程式より $x+y+z=xyz$ なので、

$$ xyz\leqq 3z $$

となる。$z>0$ より両辺を $z$ で割って、

$$ xy\leqq 3 $$

を得る。

$x,y$ は正の整数で $x\leqq y$ だから、$xy\leqq 3$ を満たす可能性は

$$ (x,y)=(1,1),(1,2),(1,3) $$

だけである。

それぞれ調べる。

(i)

$(x,y)=(1,1)$ のとき

$$ 1+1+z=z $$

となり、

$$ 2=0 $$

で矛盾する。よって不適。

(ii)

$(x,y)=(1,2)$ のとき

$$ 1+2+z=2z $$

より、

$$ z=3 $$

である。このとき

$$ 1+2+3=6,\qquad 1\cdot 2\cdot 3=6 $$

だから条件を満たす。

(iii)

$(x,y)=(1,3)$ のとき

$$ 1+3+z=3z $$

より、

$$ z=2 $$

である。しかし $y\leqq z$、すなわち $3\leqq 2$ に反する。よって不適。

したがって、求める組は

$$ (x,y,z)=(1,2,3) $$

のみである。

$n=3$ の場合

方程式は

$$ x^3+y^3+z^3=xyz $$

である。

$x,y,z$ は正の実数なので、$x^3,y^3,z^3$ も正である。相加平均・相乗平均の不等式より、

$$ \frac{x^3+y^3+z^3}{3}\geqq \sqrt[3]{x^3y^3z^3}=xyz $$

である。よって

$$ x^3+y^3+z^3\geqq 3xyz $$

が成り立つ。

もし

$$ x^3+y^3+z^3=xyz $$

を満たす正の実数 $x,y,z$ が存在するとすると、

$$ xyz=x^3+y^3+z^3\geqq 3xyz $$

となる。したがって

$$ xyz\geqq 3xyz $$

すなわち

$$ 2xyz\leqq 0 $$

である。

しかし $x,y,z$ は正の実数だから

$$ xyz>0 $$

であり、これは矛盾である。

よって、$n=3$ のとき、方程式を満たす正の実数の組 $(x,y,z)$ は存在しない。

解説

$n=1$ では、条件 $x\leqq y\leqq z$ によって $x+y+z\leqq 3z$ と押さえられる点が重要である。これにより $xyz=x+y+z$ から $xy\leqq 3$ が得られ、整数の候補が一気に有限個に絞られる。

$n=3$ では、左辺が $x^3,y^3,z^3$ の和であることから、相加平均・相乗平均の不等式を使うのが自然である。正の実数では

$$ x^3+y^3+z^3\geqq 3xyz $$

であるため、左辺が $xyz$ と等しくなることはできない。

答え

(1)

$$ (x,y,z)=(1,2,3) $$

(2)

$n=3$ のとき、方程式

$$ x^3+y^3+z^3=xyz $$

を満たす正の実数の組 $(x,y,z)$ は存在しない。