数学A 整数問題 問題 29 解説

方針・初手

$3^n$ の一の位は、$n$ を増やしていくと周期的に変化する。まず小さい指数で一の位の周期を調べ、$9477$ をその周期で割った余りを見る。

解法1

$3^n$ の一の位を順に調べる。

$$ \begin{aligned} 3^1&=3 \quad \text{より一の位は }3,\\ 3^2&=9 \quad \text{より一の位は }9,\\ 3^3&=27 \quad \text{より一の位は }7,\\ 3^4&=81 \quad \text{より一の位は }1. \end{aligned} $$

さらに $3^5$ の一の位は、$3^4$ の一の位が $1$ であることから、$1\cdot 3$ の一の位、すなわち $3$ になる。

したがって、$3^n$ の一の位は

$$ 3,\ 9,\ 7,\ 1 $$

を周期 $4$ で繰り返す。

ここで、指数 $9477$ を $4$ で割ると

$$ 9477=4\cdot 2369+1 $$

である。よって $9477$ は $4$ で割って $1$ 余るので、$3^{9477}$ の一の位は $3^1$ の一の位と同じである。

したがって、一の位の数は

$$ 3 $$

である。

解説

累乗の一の位を求める問題では、実際に巨大な数を計算するのではなく、一の位だけに注目する。$3$ の累乗の一の位は $3,9,7,1$ の周期 $4$ で繰り返すため、指数を $4$ で割った余りだけで判定できる。

指数を周期で割った余りが $0$ のときは周期の最後、この問題では $1$ に対応する点に注意する。今回は余りが $1$ なので、周期の最初の $3$ に対応する。

答え

$$ \boxed{3} $$