数学A 整数問題 問題 30 解説

方針・初手

$3a=b^5$ と $5a=c^2$ は、それぞれ「$3a$ は5乗数」「$5a$ は平方数」であることを意味する。

したがって、素因数分解における各素数の指数を考える。さらに、$d^6$ が $a$ を割り切る自然数 $d$ が $d=1$ に限られるので、$a$ の素因数分解における各指数は $6$ 未満である。

解法1

（1） $a$ は $3$ と $5$ で割り切れることを示す

$3a=b^5$ より、$b^5$ は $3$ で割り切れる。したがって $b$ は $3$ で割り切れる。

そこで $b=3k$ とおくと、

$$ 3a=b^5=(3k)^5=3^5k^5 $$

であるから、

$$ a=3^4k^5 $$

となる。よって $a$ は $3$ で割り切れる。

また、$5a=c^2$ より、$c^2$ は $5$ で割り切れる。したがって $c$ は $5$ で割り切れる。

そこで $c=5l$ とおくと、

$$ 5a=c^2=(5l)^2=5^2l^2 $$

であるから、

$$ a=5l^2 $$

となる。よって $a$ は $5$ で割り切れる。

以上より、$a$ は $3$ と $5$ の両方で割り切れる。

（2） $a$ の素因数は $3$ と $5$ 以外にないことを示す

$p$ を $a$ の素因数とし、$p\neq 3,5$ とする。$a$ の素因数分解における $p$ の指数を $e$ とする。

$p\neq 3$ なので、$3a$ における $p$ の指数も $e$ である。一方、$3a=b^5$ であるから、$3a$ の素因数分解における各指数は $5$ の倍数である。よって、$e$ は $5$ の倍数である。

また、$p\neq 5$ なので、$5a$ における $p$ の指数も $e$ である。一方、$5a=c^2$ であるから、$5a$ の素因数分解における各指数は偶数である。よって、$e$ は偶数である。

したがって、$e$ は $5$ の倍数かつ偶数である。$p$ は $a$ の素因数なので $e\geqq 1$ であり、結局

$$ e\geqq 10 $$

となる。

すると $p^6$ は $a$ を割り切る。これは、$d^6$ が $a$ を割り切る自然数 $d$ は $d=1$ に限るという条件に反する。

よって、$a$ の素因数は $3$ と $5$ 以外にない。

（3） $a$ を求める

（1）、（2） より、$a$ は $3$ と $5$ のみを素因数にもつので、

$$ a=3^x5^y $$

とおける。ただし （1） より $x\geqq 1,\ y\geqq 1$ である。

また、$d^6$ が $a$ を割り切る自然数 $d$ は $d=1$ に限るので、$a$ の素因数分解における各指数は $6$ 未満である。したがって、

$$ 1\leqq x\leqq 5,\qquad 1\leqq y\leqq 5 $$

である。

まず $3a=b^5$ より、

$$ 3a=3^{x+1}5^y $$

は5乗数である。したがって各指数は $5$ の倍数であるから、

$$ x+1\equiv 0\pmod 5,\qquad y\equiv 0\pmod 5 $$

である。

$1\leqq x\leqq 5$ より $2\leqq x+1\leqq 6$ である。この範囲で $5$ の倍数となるのは $5$ のみだから、

$$ x+1=5 $$

すなわち

$$ x=4 $$

である。

また、$1\leqq y\leqq 5$ で、$y$ は $5$ の倍数だから、

$$ y=5 $$

である。

よって、

$$ a=3^4 5^5 $$

となる。

確認すると、

$$ 3a=3^5 5^5=(15)^5 $$

であり、確かに5乗数である。また、

$$ 5a=3^4 5^6=(3^2 5^3)^2 $$

であり、確かに平方数である。さらに、$a=3^4 5^5$ の各素因数の指数は $6$ 未満なので、条件を満たす。

したがって、

$$ a=3^4 5^5=253125 $$

である。

解説

この問題では、$3a=b^5$ を「$3a$ の素因数の指数はすべて $5$ の倍数」、$5a=c^2$ を「$5a$ の素因数の指数はすべて偶数」と読むことが核心である。

さらに、$d^6\mid a$ となる $d>1$ が存在しないという条件は、$a$ の素因数分解において指数が $6$ 以上の素因数が存在しないことを意味する。

特に、$3,5$ 以外の素数 $p$ が $a$ を割り切ると、その指数は $5$ の倍数かつ偶数になり、少なくとも $10$ になる。ここで $p^6\mid a$ となって条件に反するため、素因数が $3,5$ に限られることが分かる。

答え

(1)

$a$ は $3$ と $5$ で割り切れる。

(2)

$a$ の素因数は $3$ と $5$ 以外にない。

(3)

$$ a=3^4 5^5=253125 $$