数学A 整数問題 問題 33 解説

方針・初手

$n^9-n^3$ を因数分解し、$n$ が $3$ の倍数である場合とそうでない場合に分ける。

$n$ が $3$ の倍数でないときは、$n^2$ が $3$ で割ると $1$ 余ることを使い、$n^6-1$ が $9$ の倍数であることを示す。

解法1

まず、

$$ n^9-n^3=n^3(n^6-1) $$

と因数分解する。

(i)

$n$ が $3$ の倍数である場合

$n=3k$ とおける。このとき、

$$ n^3=(3k)^3=27k^3 $$

であるから、$n^3$ は $9$ の倍数である。

したがって、

$$ n^9-n^3=n^3(n^6-1) $$

も $9$ の倍数である。

(ii)

$n$ が $3$ の倍数でない場合

$n$ は $3$ で割ると $1$ または $2$ 余るので、どちらの場合も

$$ n^2 \equiv 1 \pmod{3} $$

が成り立つ。

よって、ある整数 $m$ を用いて

$$ n^2=3m+1 $$

と表せる。

このとき、

$$ n^6-1=(n^2)^3-1=(3m+1)^3-1 $$

である。これを展開すると、

$$ \begin{aligned} (3m+1)^3-1 &=27m^3+27m^2+9m+1-1\\ &=27m^3+27m^2+9m\\ &=9(3m^3+3m^2+m) \end{aligned} $$

となる。したがって、$n^6-1$ は $9$ の倍数である。

よって、

$$ n^9-n^3=n^3(n^6-1) $$

も $9$ の倍数である。

以上より、任意の整数 $n$ に対して、$n^9-n^3$ は $9$ で割り切れる。

解説

この問題では、まず $n^9-n^3$ を

$$ n^9-n^3=n^3(n^6-1) $$

と因数分解することが出発点である。

$n$ が $3$ の倍数なら $n^3$ の時点で $9$ の倍数になる。一方、$n$ が $3$ の倍数でないときは、$n^2$ が $3$ で割って $1$ 余ることを使う。

特に、

$$ n^2=3m+1 $$

とおいてから $n^6-1=(n^2)^3-1$ を展開すると、$9$ が因数として現れる。この処理により、すべての整数 $n$ を漏れなく扱える。

答え

任意の整数 $n$ に対して、

$$ n^9-n^3 $$

は $9$ で割り切れる。