数学A 整数問題 問題 38 解説

方針・初手

分母が $x+y$ であるため、まず $x+y\neq 0$ を確認したうえで、等式を分母を払った形に直す。$x,y$ は整数なので、右辺から $x+y$ が整数でなければならないことを利用する。

解法1

与えられた式は

$$ \frac{20^y}{x+y}=2 $$

である。分母より $x+y\neq 0$ であり、両辺に $x+y$ をかけると

$$ 20^y=2(x+y) $$

となる。したがって

$$ x+y=\frac{20^y}{2} $$

である。

ここで $x,y$ は整数なので、$x+y$ も整数である。よって $\dfrac{20^y}{2}$ が整数でなければならない。

(i) $y\leqq 0$ のとき

$y=0$ のとき、

$$ \frac{20^0}{2}=\frac{1}{2} $$

であり、これは整数でない。

また、$y<0$ のとき、$y=-n\ (n\geqq 1)$ とおくと

$$ \begin{aligned} \frac{20^y}{2} &= \frac{20^{-n}}{2} \\ \frac{1}{2\cdot 20^n} \end{aligned} $$

であり、これも整数でない。

したがって $y\leqq 0$ の場合に解はない。

(ii) $y\geqq 1$ のとき

このとき

$$ \frac{20^y}{2} $$

は整数である。よって

$$ x+y=\frac{20^y}{2} $$

より

$$ x=\frac{20^y}{2}-y $$

と定まる。

逆に、任意の正の整数 $y$ に対して

$$ x=\frac{20^y}{2}-y $$

とおけば、$x$ は整数であり、

$$ x+y=\frac{20^y}{2} $$

となるので、

$$ \begin{aligned} \frac{20^y}{x+y} &= \frac{20^y}{20^y/2} \\ 2 \end{aligned} $$

を満たす。

したがって、すべての解は

$$ (x,y)=\left(\frac{20^y}{2}-y,\ y\right) $$

ただし $y$ は正の整数である。

解説

この問題では、$x$ を直接探すよりも、まず $x+y$ を一つの整数として見るのが自然である。

等式変形により

$$ x+y=\frac{20^y}{2} $$

となるため、問題は「$\dfrac{20^y}{2}$ が整数になる $y$ はいつか」に帰着する。$y$ が正なら $20^y$ は $2$ で割り切れるが、$y\leqq 0$ では整数にならない点が重要である。

また、条件を満たす $y$ は正の整数すべてであり、解は有限個ではなく無限個である。

答え

$$ (x,y)=\left(\frac{20^y}{2}-y,\ y\right) $$

ただし、$y$ は正の整数である。