数学A 整数問題 問題 37 解説

方針・初手

右辺に $x-1$ があるので、まず $x=1$ を別に調べる。その後、$x\neq 1$ として両辺を $x-1$ で割り、$y$ が整数になる条件を調べる。

解法1

与えられた等式は

$$ x^3+x^2-1=y(x-1) $$

である。

まず $x=1$ のとき、左辺は

$$ 1^3+1^2-1=1 $$

右辺は

$$ y(1-1)=0 $$

となるので、等式は成り立たない。よって $x\neq 1$ である。

したがって、両辺を $x-1$ で割ることを考える。左辺の多項式を $x-1$ で割ると、

$$ x^3+x^2-1=(x-1)(x^2+2x+2)+1 $$

である。

よって元の等式は

$$ (x-1)(x^2+2x+2)+1=y(x-1) $$

となる。これを移項すると、

$$ 1=(x-1){y-(x^2+2x+2)} $$

である。

ここで $x,y$ は整数なので、$x-1$ も ${y-(x^2+2x+2)}$ も整数である。したがって、整数の積が $1$ になるから

$$ x-1=1 \quad \text{または} \quad x-1=-1 $$

である。

(i)

$x-1=1$ のとき

$$ x=2 $$

である。元の式に代入すると、

$$ 2^3+2^2-1=y(2-1) $$

より

$$ 11=y $$

である。

したがって

$$ (x,y)=(2,11) $$

を得る。

(ii)

$x-1=-1$ のとき

$$ x=0 $$

である。元の式に代入すると、

$$ 0^3+0^2-1=y(0-1) $$

より

$$ -1=-y $$

なので

$$ y=1 $$

である。

したがって

$$ (x,y)=(0,1) $$

を得る。

以上より、求める整数の組は

$$ (x,y)=(0,1),(2,11) $$

である。

解説

この問題では、$y(x-1)$ という形から「左辺が $x-1$ で割り切れるか」を考えるのが自然である。ただし $x=1$ の場合は割り算ができないため、最初に除外確認が必要である。

多項式除法によって

$$ x^3+x^2-1=(x-1)(x^2+2x+2)+1 $$

と表せるため、左辺が $x-1$ で割り切れるためには $x-1$ が $1$ を割り切る必要がある。したがって $x-1=\pm 1$ に絞られる。

答え

$$ (x,y)=(0,1),(2,11) $$