数学A 整数問題 問題 40 解説

方針・初手

$6=2\cdot 3$ であり、$2$ と $3$ は互いに素である。したがって、$n(n^2+5)$ が $2$ の倍数かつ $3$ の倍数であることを示せばよい。

解法1

まず、$2$ の倍数であることを示す。

自然数 $n$ について、$n$ が偶数なら $n(n^2+5)$ は $n$ を因数にもつので偶数である。

$n$ が奇数なら、$n^2$ も奇数であるから、$n^2+5$ は

$$ \text{奇数}+\text{奇数}=\text{偶数} $$

となる。よって、この場合も $n(n^2+5)$ は偶数である。

したがって、任意の自然数 $n$ について $n(n^2+5)$ は $2$ の倍数である。

次に、$3$ の倍数であることを示す。

$5\equiv 2 \pmod{3}$ より、

$$ n(n^2+5)\equiv n(n^2+2)\pmod{3} $$

である。$n$ を $3$ で割った余りによって場合分けする。

(i)

$n\equiv 0\pmod{3}$ のとき

$$ n(n^2+5)\equiv 0\pmod{3} $$

である。

(ii)

$n\equiv 1\pmod{3}$ のとき

$$ n(n^2+5)\equiv 1(1^2+2)=3\equiv 0\pmod{3} $$

である。

(iii)

$n\equiv 2\pmod{3}$ のとき

$$ n(n^2+5)\equiv 2(2^2+2)=2\cdot 6=12\equiv 0\pmod{3} $$

である。

以上より、任意の自然数 $n$ について $n(n^2+5)$ は $3$ の倍数である。

したがって、$n(n^2+5)$ は $2$ の倍数かつ $3$ の倍数である。$2$ と $3$ は互いに素なので、$n(n^2+5)$ は $6$ の倍数である。

解法2

式を変形して、連続する整数の積を利用する。

$$ n(n^2+5)=n^3+5n $$

である。ここで、

$$ n^3+5n=(n^3-n)+6n $$

と変形する。

さらに、

$$ n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1) $$

であるから、

$$ n(n^2+5)=n(n-1)(n+1)+6n $$

となる。

$n-1,n,n+1$ は連続する $3$ つの整数である。連続する $3$ つの整数の積は必ず $3! = 6$ の倍数である。したがって、

$$ n(n-1)(n+1) $$

は $6$ の倍数である。

また、$6n$ も $6$ の倍数である。

よって、$6$ の倍数どうしの和である

$$ n(n-1)(n+1)+6n $$

も $6$ の倍数である。

したがって、$n(n^2+5)$ は $6$ の倍数である。

解説

合同式で $2$ と $3$ について別々に示す方法は、$6$ の倍数を証明する基本的な方針である。特に、$2$ と $3$ が互いに素であることを使う点が重要である。

一方、解法2では

$$ n(n^2+5)=n(n-1)(n+1)+6n $$

と変形し、連続する $3$ 整数の積が $6$ の倍数であることを利用している。この変形は、$n^3+5n$ を $n^3-n$ と $6n$ に分ける発想が鍵である。

答え

任意の自然数 $n$ について、$n(n^2+5)$ は $6$ の倍数である。