数学A 整数問題 問題 41 解説

方針・初手

複素数の等式なので、まず実部と虚部をそれぞれ比較する。そこから $x^3+y^3$ が直接求まり、その後に整数解を因数分解で絞り込む。

解法1

与えられた等式

$$ x^3-14+y^2i+51i=y^2-x+(x-y^3)i $$

は、左辺を実部と虚部に分けると

$$ (x^3-14)+(y^2+51)i $$

である。

$x,y$ は実数であるから、複素数の等式より実部と虚部を比較して

$$ x^3-14=y^2-x $$

$$ y^2+51=x-y^3 $$

を得る。

これらを整理すると

$$ x^3+x-y^2-14=0 $$

$$ y^3+y^2-x+51=0 $$

である。2式を加えると、$x$ と $y^2$ の項が消えて

$$ x^3+y^3+37=0 $$

となる。よって

$$ x^3+y^3=-37 $$

である。

次に、$x,y$ がともに整数となる組を求める。和の立方の因数分解より

$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $$

であるから、

$$ (x+y)(x^2-xy+y^2)=-37 $$

を満たす整数 $x,y$ を求めればよい。

ここで $x^2-xy+y^2$ は整数であり、$x,y$ が同時に $0$ でない限り正である。今回は積が $-37$ なので、

$$ x^2-xy+y^2>0 $$

である。$37$ は素数だから、考えるべき場合は次の2つである。

(i)

$$ x+y=-1,\qquad x^2-xy+y^2=37 $$

このとき $y=-1-x$ とおくと、

$$ x^2-x(-1-x)+(-1-x)^2=37 $$

すなわち

$$ 3x^2+3x+1=37 $$

である。よって

$$ 3x^2+3x-36=0 $$

となり、

$$ x^2+x-12=0 $$

だから

$$ (x-3)(x+4)=0 $$

である。したがって

$$ x=3,-4 $$

であり、それぞれ

$$ (x,y)=(3,-4),(-4,3) $$

を得る。

(ii)

$$ x+y=-37,\qquad x^2-xy+y^2=1 $$

このとき $y=-37-x$ とおくと、

$$ x^2-x(-37-x)+(-37-x)^2=1 $$

より

$$ 3x^2+111x+1369=1 $$

すなわち

$$ 3x^2+111x+1368=0 $$

である。この2次方程式の判別式は

$$ 111^2-4\cdot 3\cdot 1368=-4095<0 $$

であるから、実数解をもたない。したがって整数解もない。

よって、$x^3+y^3=-37$ を満たす整数の組は

$$ (x,y)=(3,-4),(-4,3) $$

である。

最後に、このうち最初の複素数の等式を満たすものを調べる。

$(x,y)=(3,-4)$ のとき、

$$ x^3-14=27-14=13,\qquad y^2-x=16-3=13 $$

また、

$$ y^2+51=16+51=67,\qquad x-y^3=3-(-64)=67 $$

であるから、実部・虚部ともに一致する。

一方、$(x,y)=(-4,3)$ のとき、

$$ x^3-14=-64-14=-78,\qquad y^2-x=9-(-4)=13 $$

であり、実部が一致しない。

したがって、もとの複素数の等式を満たす整数の組は

$$ (x,y)=(3,-4) $$

である。

解説

この問題の中心は、複素数の等式を実部と虚部に分けることである。2つの式を別々に解こうとすると複雑に見えるが、整理して加えると $x^3+y^3$ が一気に出る。

その後は

$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $$

を使う整数問題になる。$-37$ が素数であるため、因数の組が少なく、整数解はすぐに絞り込める。ただし、$x^3+y^3=-37$ を満たすだけでは不十分で、最後にもとの複素数の等式に戻って確認する必要がある。

答え

$$ \boxed{①=-37} $$

$$ \boxed{(②,③)=(3,-4),\quad (④,⑤)=(-4,3)} $$

ただし、2組の順序は入れ替えてもよい。

$$ \boxed{⑥=3,-4} $$