数学A 整数問題 問題 48 解説

方針・初手

下2桁を求める問題は、$100$ で割った余りを調べればよい。

求める数は $5m^4$ の下2桁であるから、$5m^4 \pmod{100}$ を考える。係数が $5$ なので、$m^4$ は $20$ で割った余りだけ調べれば十分である。

解法1

$5m^4$ の $100$ で割った余りを考える。

もし

$$ m^4 \equiv r \pmod{20} $$

ならば

$$ 5m^4 \equiv 5r \pmod{100} $$

である。したがって、まず $m^4$ の $20$ で割った余りを求めればよい。

$20=4\cdot 5$ なので、$4$ で割った余りと $5$ で割った余りを調べる。

まず、$4$ については、

• $m$ が偶数なら $m^4\equiv 0\pmod{4}$
• $m$ が奇数なら $m^4\equiv 1\pmod{4}$

である。

次に、$5$ については、

• $m$ が $5$ の倍数なら $m^4\equiv 0\pmod{5}$
• $m$ が $5$ の倍数でないなら、フェルマーの小定理より $m^4\equiv 1\pmod{5}$

である。

よって、$m^4$ の $20$ で割った余りは、次の $4$ 通りに限られる。

(i)

$m^4\equiv 0\pmod{4}$、$m^4\equiv 0\pmod{5}$ のとき

$$ m^4\equiv 0\pmod{20} $$

である。

(ii)

$m^4\equiv 1\pmod{4}$、$m^4\equiv 0\pmod{5}$ のとき

$$ m^4\equiv 5\pmod{20} $$

である。

(iii)

$m^4\equiv 0\pmod{4}$、$m^4\equiv 1\pmod{5}$ のとき

$$ m^4\equiv 16\pmod{20} $$

である。

(iv)

$m^4\equiv 1\pmod{4}$、$m^4\equiv 1\pmod{5}$ のとき

$$ m^4\equiv 1\pmod{20} $$

である。

したがって、

$$ m^4 \equiv 0,5,16,1 \pmod{20} $$

である。

これらに $5$ をかけて、$100$ で割った余りを考えると、

$$ 5m^4 \equiv 0,25,80,5 \pmod{100} $$

である。

よって、$5m^4$ の下2桁として現れうる数は

$$ 0,\ 5,\ 25,\ 80 $$

である。

実際にこれらはすべて現れる。例えば、

$$ \begin{aligned} m=10 &\Rightarrow 5m^4 \equiv 0 \pmod{100},\\ m=1 &\Rightarrow 5m^4 \equiv 5 \pmod{100},\\ m=5 &\Rightarrow 5m^4 \equiv 25 \pmod{100},\\ m=2 &\Rightarrow 5m^4=80 \end{aligned} $$

より、$0,5,25,80$ はすべて下2桁として現れる。

解説

係数に $5$ がついているため、$5m^4$ を $100$ で見るには、$m^4$ を $20$ で見れば足りる、という点が重要である。

また、$20=4\cdot 5$ なので、偶奇による $4$ での余りと、$5$ の倍数かどうかによる $5$ での余りに分けると整理しやすい。

特に、$5$ の倍数でない整数 $m$ については $m^4\equiv 1\pmod{5}$ となるため、場合分けが非常に少なくなる。

答え

$$ \boxed{0,\ 5,\ 25,\ 80} $$