数学A 整数問題 問題 49 解説

方針・初手

左辺は $\ell$ と括弧内の積であり、右辺が正であるから、括弧内は正でなければならない。まずこの正の条件から $m,n$ の範囲を強く絞り、その後に $\ell$ を求める。

解法1

与えられた式は

$$ \left(\frac{n}{m}-\frac{n}{2}+1\right)\ell=2 $$

である。$\ell\geqq 3$ より $\ell>0$ なので、

$$ \frac{n}{m}-\frac{n}{2}+1>0 $$

でなければならない。

これを整理すると、

$$ 1-\frac{n(m-2)}{2m}>0 $$

より、

$$ n(m-2)<2m $$

である。したがって

$$ n<\frac{2m}{m-2} $$

を得る。

ここで $m\geqq 3$ であるから、$m$ の値で場合分けする。

(i) $m=3$ のとき

このとき

$$ n<\frac{2\cdot 3}{3-2}=6 $$

である。$n\geqq 3$ より、

$$ n=3,4,5 $$

である。

それぞれについて $\ell$ を求める。

$n=3$ のとき、

$$ \frac{3}{3}-\frac{3}{2}+1=\frac{1}{2} $$

なので、

$$ \frac{1}{2}\ell=2 $$

より、

$$ \ell=4 $$

である。

$n=4$ のとき、

$$ \frac{4}{3}-\frac{4}{2}+1=\frac{1}{3} $$

なので、

$$ \frac{1}{3}\ell=2 $$

より、

$$ \ell=6 $$

である。

$n=5$ のとき、

$$ \frac{5}{3}-\frac{5}{2}+1=\frac{1}{6} $$

なので、

$$ \frac{1}{6}\ell=2 $$

より、

$$ \ell=12 $$

である。

よってこの場合は

$$ (\ell,m,n)=(4,3,3),(6,3,4),(12,3,5) $$

を得る。

(ii) $m=4$ のとき

このとき

$$ n<\frac{2\cdot 4}{4-2}=4 $$

である。$n\geqq 3$ より、

$$ n=3 $$

である。

このとき

$$ \frac{3}{4}-\frac{3}{2}+1=\frac{1}{4} $$

なので、

$$ \frac{1}{4}\ell=2 $$

より、

$$ \ell=8 $$

である。

したがって

$$ (\ell,m,n)=(8,4,3) $$

を得る。

(iii) $m=5$ のとき

このとき

$$ n<\frac{2\cdot 5}{5-2}=\frac{10}{3} $$

である。$n\geqq 3$ より、

$$ n=3 $$

である。

このとき

$$ \frac{3}{5}-\frac{3}{2}+1=\frac{1}{10} $$

なので、

$$ \frac{1}{10}\ell=2 $$

より、

$$ \ell=20 $$

である。

したがって

$$ (\ell,m,n)=(20,5,3) $$

を得る。

(iv) $m\geqq 6$ のとき

$m\geqq 6$ ならば

$$ \frac{2m}{m-2}\leqq 3 $$

である。したがって

$$ n<\frac{2m}{m-2}\leqq 3 $$

となるが、これは $n\geqq 3$ に反する。

よってこの場合に解はない。

以上より、条件を満たす組は

$$ (\ell,m,n)=(4,3,3),(6,3,4),(12,3,5),(8,4,3),(20,5,3) $$

である。

解説

この問題では、分母を払って整数方程式として扱うよりも、まず括弧内が正であることに注目するのが最も効率的である。

括弧内を

$$ 1-\frac{n(m-2)}{2m} $$

と変形すると、正である条件から

$$ n<\frac{2m}{m-2} $$

が得られる。これにより $m$ は実質的に $3,4,5$ だけを調べればよい。特に $m\geqq 6$ では右辺が $3$ 以下になるため、$n\geqq 3$ と両立しない。

範囲を絞った後は、各場合で括弧内の値を計算し、$\ell$ が整数かどうかを確認すればよい。

答え

$$ (\ell,m,n)=(4,3,3),(6,3,4),(12,3,5),(8,4,3),(20,5,3) $$