数学A 整数問題 問題 54 解説

方針・初手

正 $n$ 角形を $m$ 個、1点の周りに隙間なく並べるので、その点に集まる $m$ 個の内角の和が $360^\circ$、すなわち $2\pi$ になることを用いる。

正 $n$ 角形の1つの内角は

$$ \frac{(n-2)\pi}{n} $$

である。

解法1

正 $n$ 角形 $m$ 個が1点の周りを隙間なく埋めるから、

$$ m\cdot \frac{(n-2)\pi}{n}=2\pi $$

である。

両辺を $\pi$ で割ると、

$$ m\cdot \frac{n-2}{n}=2 $$

となる。これを整理する。

$$ \frac{m(n-2)}{n}=2 $$

$$ m(n-2)=2n $$

$$ mn-2m=2n $$

ここから $mn$ で割ると、

$$ 1-\frac{2}{n}=\frac{2}{m} $$

したがって、

$$ \frac{1}{2}-\frac{1}{n}=\frac{1}{m} $$

よって、

$$ \frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{1}{2} $$

である。

次に、この式を満たす整数の組 $(n,m)$ を求める。正多角形であるから $n\geqq 3$、また1点の周りに並ぶ個数も $m\geqq 3$ である。

$$ \frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{1}{2} $$

の両辺に $2mn$ をかけると、

$$ 2m+2n=mn $$

すなわち、

$$ mn-2m-2n=0 $$

である。両辺に $4$ を加えて因数分解すると、

$$ mn-2m-2n+4=4 $$

$$ (n-2)(m-2)=4 $$

となる。

$n\geqq 3,\ m\geqq 3$ より、$n-2,\ m-2$ は正の整数である。したがって、$4$ の正の約数の組を調べればよい。

$$ (n-2,m-2)=(1,4),(2,2),(4,1) $$

より、

$$ (n,m)=(3,6),(4,4),(6,3) $$

である。

解説

正多角形の敷き詰めでは、「1点の周りの角の和が $360^\circ$ になる」という条件を式にするのが基本である。

正 $n$ 角形の内角は $\frac{(n-2)\pi}{n}$ なので、それが $m$ 個集まることから

$$ m\cdot \frac{(n-2)\pi}{n}=2\pi $$

を立てる。この式を変形すると

$$ \frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{1}{2} $$

になり、さらに

$$ (n-2)(m-2)=4 $$

と因数分解できる。あとは $4$ の正の約数の組を調べればよい。

答え

$$ \frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{1}{2} $$

したがって、

$$ [\text{セ}]=\frac{1}{2} $$

また、条件を満たす $(n,m)$ は

$$ (3,6),\ (4,4),\ (6,3) $$

である。

よって、

$$ ([\text{ソ}],[\text{タ}])=(3,6) $$

$$ ([\text{チ}],[\text{ツ}])=(4,4) $$

$$ ([\text{テ}],[\text{ト}])=(6,3) $$