数学A 整数問題 問題 53 解説

方針・初手

2桁の自然数 $N$ を、十の位を $a$、一の位を $b$ として

$$ N=10a+b $$

と表す。ただし、$a,b$ は整数で

$$ 1\leq a\leq 9,\quad 0\leq b\leq 9 $$

である。このとき、各位の和は

$$ T=a+b $$

であるから、$\dfrac{N}{T}$ を $a,b$ で表して最小値を調べる。

解法1

十の位を $a$、一の位を $b$ とすると、

$$ \begin{aligned} \frac{N}{T} &= \frac{10a+b}{a+b} \end{aligned} $$

である。これを変形すると、

$$ \begin{aligned} \frac{10a+b}{a+b} &= \frac{a+b+9a}{a+b} \\ 1+\frac{9a}{a+b} \end{aligned} $$

となる。

ここで $a$ を固定して考えると、$1+\dfrac{9a}{a+b}$ を小さくするには、分母 $a+b$ をできるだけ大きくすればよい。$b$ の最大値は $9$ であるから、各 $a$ に対して最小となるのは $b=9$ のときである。

したがって、調べるべき値は

$$ 1+\frac{9a}{a+9} $$

である。

次に、$a=1,2,\dots,9$ に対して

$$ \frac{9a}{a+9} $$

は $a$ が大きくなるほど大きくなる。実際、$a$ が大きくなると分子の増え方が分母の増え方より強く、値は増加する。

よって最小となるのは $a=1$ のときであり、このとき $b=9$ である。

したがって

$$ N=19,\quad T=1+9=10 $$

であるから、

$$ \frac{N}{T}=\frac{19}{10} $$

となる。

解説

この問題では、2桁の数を $10a+b$ と置き、各位の和を $a+b$ と表すのが基本である。

重要なのは、

$$ \begin{aligned} \frac{10a+b}{a+b} &= 1+\frac{9a}{a+b} \end{aligned} $$

と変形することである。この形にすると、十の位 $a$ が小さいほど有利で、一の位 $b$ が大きいほど有利であることが分かる。

したがって、十の位は最小の $1$、一の位は最大の $9$ とするのが最適であり、$N=19$ が最小値を与える。

答え

$$ \boxed{\frac{19}{10}} $$