数学A 整数問題 問題 56 解説

方針・初手

式は対称であるが、(3) では $a \geqq b \geqq c$ と順序が指定されている。まず $c$ を固定すると、残りは $a,b$ についての整数方程式になる。

特に

$$ \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=2 $$

は、$c$ を定めると

$$ \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right) $$

の値が決まる。分母を払った後、積の形に変形して正の約数を調べる。

解法1

(1)

$c=1$ のとき、等式は

$$ \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\cdot 2=2 $$

である。したがって

$$ \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=1 $$

となる。

しかし、$a,b$ は正の整数なので

$$ 1+\frac{1}{a}>1,\qquad 1+\frac{1}{b}>1 $$

であり、その積は $1$ より大きい。これは矛盾である。

よって、$c=1$ のとき、等式を満たす正の整数 $a,b$ は存在しない。

(2)

$c=2$ のとき、

$$ \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\cdot \frac{3}{2}=2 $$

であるから、

$$ \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=\frac{4}{3} $$

となる。分母を払うと

$$ \frac{(a+1)(b+1)}{ab}=\frac{4}{3} $$

より

$$ 3(a+1)(b+1)=4ab $$

である。これを整理すると

$$ 3ab+3a+3b+3=4ab $$

より

$$ ab-3a-3b=3 $$

となる。ここで両辺に $9$ を加えて

$$ ab-3a-3b+9=12 $$

すなわち

$$ (a-3)(b-3)=12 $$

である。

$a\geqq b$ より、$a-3\geqq b-3$ と考えてよい。また、$a,b$ が正の整数であることを考えると、積が $12$ になるには $a-3,b-3$ は正である。

したがって、$12$ の正の約数の組を $a-3\geqq b-3$ の条件で調べると、

$$ (a-3,b-3)=(12,1),(6,2),(4,3) $$

である。よって

$$ (a,b)=(15,4),(9,5),(7,6) $$

を得る。

(3)

$a\geqq b\geqq c$ とする。このとき

$$ 1+\frac{1}{a}\leqq 1+\frac{1}{b}\leqq 1+\frac{1}{c} $$

であるから、

$$ 2=\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right) \leqq \left(1+\frac{1}{c}\right)^3 $$

となる。よって

$$ \left(1+\frac{1}{c}\right)^3\geqq 2 $$

である。

ここで $c\geqq 4$ とすると

$$ 1+\frac{1}{c}\leqq \frac{5}{4} $$

だから

$$ \left(1+\frac{1}{c}\right)^3\leqq \left(\frac{5}{4}\right)^3=\frac{125}{64}<2 $$

となり矛盾する。したがって

$$ c\leqq 3 $$

である。

また、(1) より $c=1$ は不可能である。したがって $c=2,3$ の場合を調べればよい。

(i)

$c=2$ の場合

(2) より、$a\geqq b$ を満たす組は

$$ (a,b)=(15,4),(9,5),(7,6) $$

である。いずれも $b\geqq 2$ を満たすので、

$$ (a,b,c)=(15,4,2),(9,5,2),(7,6,2) $$

を得る。

(ii)

$c=3$ の場合

等式は

$$ \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\cdot \frac{4}{3}=2 $$

であるから、

$$ \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=\frac{3}{2} $$

となる。分母を払うと

$$ \frac{(a+1)(b+1)}{ab}=\frac{3}{2} $$

より

$$ 2(a+1)(b+1)=3ab $$

である。これを整理すると

$$ 2ab+2a+2b+2=3ab $$

より

$$ ab-2a-2b=2 $$

となる。両辺に $4$ を加えて

$$ ab-2a-2b+4=6 $$

すなわち

$$ (a-2)(b-2)=6 $$

である。

$a\geqq b\geqq c=3$ だから、$a-2,b-2$ は正の整数であり、さらに $a-2\geqq b-2$ である。したがって

$$ (a-2,b-2)=(6,1),(3,2) $$

である。よって

$$ (a,b)=(8,3),(5,4) $$

を得る。

したがって、$c=3$ の場合は

$$ (a,b,c)=(8,3,3),(5,4,3) $$

である。

以上より、条件を満たす組は

$$ (15,4,2),(9,5,2),(7,6,2),(8,3,3),(5,4,3) $$

である。

解説

この問題の中心は、$c$ を固定して $a,b$ の整数方程式に落とし込むことである。特に

$$ ab-ka-kb=\text{定数} $$

の形になったら、両辺に $k^2$ を加えて

$$ (a-k)(b-k)=\text{定数} $$

の形にするのが典型的な処理である。

(3) では $c$ の候補を無限に調べるのではなく、$a\geqq b\geqq c$ から

$$ \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right) \leqq \left(1+\frac{1}{c}\right)^3 $$

と評価して、$c\leqq 3$ に絞る点が重要である。これにより、(1)(2) の結果と $c=3$ の計算だけで全体を処理できる。

答え

(1)

$c=1$ のとき、等式を満たす正の整数 $a,b$ は存在しない。

(2)

$c=2$ のとき、$a\geqq b$ を満たす組は

$$ (a,b)=(15,4),(9,5),(7,6) $$

である。

(3)

$a\geqq b\geqq c$ を満たす組は

$$ (a,b,c)=(15,4,2),(9,5,2),(7,6,2),(8,3,3),(5,4,3) $$

である。