数学A 整数問題 問題 57 解説

方針・初手

平方数を $3$ で割った余りは $0,1$ に限られる。この性質を使うと、ピタゴラス型の式 $a^2+b^2=c^2$ に対して、$3$ の倍数になる文字が必ず存在することを示せる。

最後の問題では、

$$ a^2+b^2=225=15^2 $$

であるから、平方数の候補を絞る。特に $3$ で割った余りを使うと、$a,b$ がともに $3$ の倍数であることが分かる。

解法1

まず、任意の整数 $a$ を $3$ で割った余りで分類する。

$a$ を $3$ で割った余りは $0,1,2$ のいずれかである。

(i)

$a\equiv 0\pmod 3$ のとき

$$ a^2\equiv 0^2\equiv 0\pmod 3 $$

である。

(ii)

$a\equiv 1\pmod 3$ のとき

$$ a^2\equiv 1^2\equiv 1\pmod 3 $$

である。

(iii)

$a\equiv 2\pmod 3$ のとき

$$ a^2\equiv 2^2=4\equiv 1\pmod 3 $$

である。

したがって、$a^2$ を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ である。

次に、

$$ a^2+b^2=c^2 $$

を満たすとする。

もし $a,b,c$ がすべて $3$ の倍数でないと仮定すると、(1)より

$$ a^2\equiv b^2\equiv c^2\equiv 1\pmod 3 $$

となる。

このとき左辺は

$$ a^2+b^2\equiv 1+1\equiv 2\pmod 3 $$

であり、右辺は

$$ c^2\equiv 1\pmod 3 $$

である。

これは

$$ a^2+b^2=c^2 $$

に矛盾する。

よって、$a,b,c$ の少なくとも1つは $3$ の倍数である。したがって、積 $abc$ は $3$ の倍数である。

最後に、

$$ a^2+b^2=225 $$

を解く。

ここで

$$ 225\equiv 0\pmod 3 $$

である。また、(1)より $a^2,b^2$ を $3$ で割った余りはそれぞれ $0$ または $1$ である。

$$ a^2+b^2\equiv 0\pmod 3 $$

となるためには、

$$ a^2\equiv 0\pmod 3,\qquad b^2\equiv 0\pmod 3 $$

でなければならない。よって $a,b$ はともに $3$ の倍数である。

そこで

$$ a=3x,\qquad b=3y $$

とおく。ただし $x,y$ は正の整数である。

これを代入すると、

$$ 9x^2+9y^2=225 $$

より、

$$ x^2+y^2=25 $$

を得る。

$x,y$ は正の整数なので、$x^2,y^2$ は $25$ 未満の平方数である。候補は

$$ 1,\ 4,\ 9,\ 16 $$

である。

このうち和が $25$ になる組は

$$ 9+16=25 $$

だけである。

したがって、

$$ {x,y}={3,4} $$

である。

よって

$$ {a,b}={9,12} $$

となる。

したがって、求める正の整数の組は

$$ (a,b)=(9,12),\ (12,9) $$

である。

解説

平方数の余りを考える問題では、まず法を固定して、整数を余りごとに分類するのが基本である。

(2)では、$a,b,c$ がすべて $3$ の倍数でないと仮定すると、すべての平方が $1$ に合同になる。その結果、左辺 $a^2+b^2$ は $2$ に合同、右辺 $c^2$ は $1$ に合同となり、等式に反する。この矛盾の作り方が要点である。

(3)では、単に平方数を列挙しても解けるが、$3$ で割った余りを使うと $a,b$ がともに $3$ の倍数だと分かり、計算量を大きく減らせる。

答え

(1)

$a^2$ を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ である。

(2)

$a^2+b^2=c^2$ ならば、$a,b,c$ の少なくとも1つは $3$ の倍数である。したがって、$abc$ は $3$ の倍数である。

(3)

$$ (a,b)=(9,12),\ (12,9) $$