数学A 整数問題 問題 58 解説

方針・初手

循環小数 $0.ababab\cdots$ は、2桁の循環節 $ab$ をもつので、まずこれを分数で表す。

$$ x=0.ababab\cdots=\frac{10a+b}{99} $$

この形に直すと、各問は $10a+b$ の割り切れの問題になる。

解法1

$x=0.ababab\cdots$ とおく。両辺を $100$ 倍すると、小数点が循環節2桁ぶん移動して

$$ 100x=ab.ababab\cdots $$

である。ここで $ab$ は2桁の数を表すので、整数としては $10a+b$ である。したがって

$$ 100x=(10a+b)+0.ababab\cdots=(10a+b)+x $$

となる。よって

$$ 99x=10a+b $$

を得る。

$ a,b $ は $0$ 以上 $9$ 以下の整数であり、かつ異なるので、$10a+b$ は整数である。また、$a=b=0$ は異なる整数という条件に反するため起こらない。したがって $10a+b$ は正の整数である。

よって

$$ 99x=10a+b $$

は自然数である。これで （1） が示された。

次に （2） を考える。上で得た式より

$$ x=\frac{10a+b}{99} $$

だから

$$ 33x=\frac{10a+b}{3} $$

である。したがって、$33x$ が自然数となるには、$10a+b$ が $3$ の倍数であればよい。

例えば $a=1,\ b=2$ とすると、$a,b$ は異なる整数であり、

$$ 10a+b=12 $$

である。これは $3$ の倍数なので、

$$ x=0.121212\cdots $$

とすれば

$$ 33x=\frac{12}{3}=4 $$

となり、自然数である。

したがって、条件を満たす $x$ の一例は

$$ x=0.121212\cdots $$

である。

最後に （3） を考える。上で得た式より

$$ 11x=\frac{10a+b}{9} $$

である。したがって、$11x$ が自然数となるには、$10a+b$ が $9$ の倍数であればよい。

ここで

$$ 10a+b \equiv a+b \pmod{9} $$

であるから、$10a+b$ が $9$ の倍数であることは、$a+b$ が $9$ の倍数であることと同値である。

また、$a,b$ は $0$ 以上 $9$ 以下の異なる整数なので、

$$ 0\leq a+b\leq 17 $$

である。さらに $a=b=0$ は条件に反するため、$a+b=0$ は起こらない。

よって $a+b$ が取りうる $9$ の倍数は

$$ a+b=9 $$

のみである。

したがって、$11x$ が自然数となるとき

$$ a+b=9 $$

である。

解説

この問題の中心は、循環小数 $0.ababab\cdots$ を

$$ x=\frac{10a+b}{99} $$

と表すことである。

その後は、

$$ 99x=10a+b,\qquad 33x=\frac{10a+b}{3},\qquad 11x=\frac{10a+b}{9} $$

となるため、自然数になる条件はそれぞれ $10a+b$ の割り切れとして扱える。

特に （3） では、$10a+b$ が $9$ の倍数であることを、各位の和 $a+b$ が $9$ の倍数であることに置き換えるのが重要である。$a,b$ は異なる数字なので $a+b=0$ は不可能であり、また最大でも $17$ であるため、結局 $a+b=9$ に限られる。

答え

(1)

$$ 99x=10a+b $$

であり、これは自然数である。

(2)

一例として

$$ x=0.121212\cdots $$

(3)

$$ a+b=9 $$