数学A 整数問題 問題 63 解説

方針・初手

桁数を求めるには、与えられた数が $10^k$ 以上 $10^{k+1}$ 未満のどこに入るかを調べればよい。

まず

$$ 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13=30030 $$

と計算し、$30030^{10}$ を $10$ の累乗で上下から評価する。

解法1

求める数を

$$ N=(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13)^{10} $$

とおく。

まず、括弧内を計算すると

$$ 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13=30030 $$

であるから、

$$ N=30030^{10} $$

である。

下から評価する。$30030>3\cdot 10^4$ より、

$$ 30030^{10}>(3\cdot 10^4)^{10} $$

である。右辺は

$$ (3\cdot 10^4)^{10}=3^{10}\cdot 10^{40} $$

であり、

$$ 3^{10}=59049 $$

だから、

$$ 3^{10}\cdot 10^{40}=59049\cdot 10^{40}>10^4\cdot 10^{40}=10^{44} $$

となる。したがって、

$$ 30030^{10}>10^{44} $$

である。

次に上から評価する。直接平方すると、

$$ 30030^2=901800900<10^9 $$

である。よって、

$$ 30030^{10}=(30030^2)^5<(10^9)^5=10^{45} $$

となる。

以上より、

$$ 10^{44}<30030^{10}<10^{45} $$

である。

$10^{44}$ 以上 $10^{45}$ 未満の正の整数は、$10$ 進法で $45$ 桁である。したがって、求める桁数は $45$ 桁である。

解説

桁数の問題では、実際に巨大な数を計算する必要はない。$d$ 桁の正の整数は

$$ 10^{d-1}\leq N<10^d $$

を満たすので、$10$ の累乗で上下から挟めばよい。

この問題では $30030^{10}$ を直接展開するのではなく、下からは $30030>3\cdot 10^4$、上からは $30030^2<10^9$ を使うと、計算量を抑えて

$$ 10^{44}<30030^{10}<10^{45} $$

が得られる。

答え

$45$ 桁。