数学A 整数問題 問題 64 解説

方針・初手

$a-b-8$ と $b-c-8$ をそれぞれ素数としておき、まず大小関係と偶奇を見る。特に、$a,b$ はともに奇素数になるため、$a-b-8$ は偶数の素数、すなわち $2$ に限られる。

解法1

$a-b-8$ と $b-c-8$ は素数であるから、正の整数である。したがって

$$ a-b-8\geq 2,\qquad b-c-8\geq 2 $$

より、

$$ a>b>c $$

である。

特に $b>c\geq 2$ なので、$b$ は $2$ ではない。よって $b$ は奇素数である。また $a>b\geq 3$ より、$a$ も奇素数である。

したがって、$a-b-8$ は

$$ \text{奇数}-\text{奇数}-\text{偶数} $$

であるから偶数である。これが素数なので、

$$ a-b-8=2 $$

となる。よって

$$ a=b+10 $$

である。

次に $b-c-8$ について考える。

(i) $c$ が奇素数のとき

$b$ も $c$ も奇数であるから、$b-c-8$ は偶数である。これが素数なので、

$$ b-c-8=2 $$

である。したがって

$$ b=c+10,\qquad a=b+10=c+20 $$

となる。

よって $c,c+10,c+20$ がすべて素数である必要がある。ここで $10\equiv 1 \pmod 3$、$20\equiv 2 \pmod 3$ だから、

$$ c,\ c+10,\ c+20 $$

は $3$ で割った余りがそれぞれ異なる。したがって、このうちちょうど1つは $3$ の倍数である。

いずれも素数であるため、$3$ の倍数であるものは $3$ 自身でなければならない。ところが $c+10>3,\ c+20>3$ なので、$3$ の倍数になれるのは $c$ だけである。よって

$$ c=3 $$

であり、

$$ b=13,\qquad a=23 $$

を得る。このとき

$$ a-b-8=23-13-8=2,\qquad b-c-8=13-3-8=2 $$

であり、条件を満たす。

(ii) $c=2$ のとき

このとき

$$ b-c-8=b-10 $$

である。これを素数 $q$ とおくと、

$$ q=b-10 $$

であるから、

$$ b=q+10,\qquad a=b+10=q+20 $$

となる。

したがって $q,q+10,q+20$ がすべて素数である。先ほどと同様に、これらは $3$ で割った余りがすべて異なるので、このうち1つは $3$ の倍数である。

$q+10>3,\ q+20>3$ は素数でなければならないため、$3$ の倍数にはなれない。よって

$$ q=3 $$

である。したがって

$$ b=13,\qquad a=23 $$

となる。このとき

$$ a-b-8=23-13-8=2,\qquad b-c-8=13-2-8=3 $$

であり、条件を満たす。

以上より、条件を満たす素数の組は

$$ (a,b,c)=(23,13,3),\ (23,13,2) $$

である。

解説

この問題の要点は、素数の偶奇を利用して $a-b-8=2$ を強制することである。$b-c-8$ については $c=2$ の場合だけ偶奇が変わるため、そこを場合分けする必要がある。

また、$x,x+10,x+20$ の3つを考えると、$10\equiv 1 \pmod 3$ であるため、これらは $3$ で割った余りがすべて異なる。よって必ず1つが $3$ の倍数になる。この観察により、候補が有限個に絞られる。

答え

$$ (a,b,c)=(23,13,2),\ (23,13,3) $$