数学A 整数問題 問題 67 解説

方針・初手

二次関数 $y=ax^2+bx$ は常に $(0,0)$ を通る。そこで、$(0,0)$ 以外の格子点が存在するとは、$0$ でない整数 $x$ に対して $y$ も整数になることを意味する。

(1) は、$x$ を適切な倍数に限定して $y$ が整数になることを示せばよい。

(2) は、$(0,0)$ 以外の格子点が2つあることから、係数 $a,b$ が有理数であることを導く。その後、分母を消すように $x$ を選べば、無限個の格子点が得られる。

解法1

(1)

与えられたグラフは

$$ y=\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x $$

である。

$x$ を $6$ の倍数として

$$ x=6n \quad (n\in\mathbb{Z}) $$

とおく。このとき

$$ \begin{aligned} y &=\frac{1}{3}(6n)^2+\frac{1}{2}(6n)\\ &=12n^2+3n \end{aligned} $$

となる。

$12n^2+3n$ は整数であるから、任意の整数 $n$ に対して

$$ (6n,\ 12n^2+3n) $$

は格子点である。

$n$ は整数全体を動くので、このような点は無限個存在する。したがって、グラフ上には無限個の格子点が存在する。

(2)

$y=ax^2+bx$ のグラフ上に、$(0,0)$ 以外の格子点が2つ存在するとする。それらを

$$ (m,n),\quad (p,q) $$

とおく。ただし

$$ m,p,n,q\in\mathbb{Z} $$

である。

$(0,0)$ 以外の点であるから、$x=0$ ならば $y=0$ となってしまうので、

$$ m\neq 0,\quad p\neq 0 $$

である。また、2点は異なる点であり、関数のグラフ上では同じ $x$ 座標に対して $y$ 座標は1つに定まるので、

$$ m\neq p $$

である。

この2点がグラフ上にあるから、

$$ n=am^2+bm $$

$$ q=ap^2+bp $$

が成り立つ。

$m\neq 0,\ p\neq 0$ なので、それぞれ $m,p$ で割ると、

$$ \frac{n}{m}=am+b $$

$$ \frac{q}{p}=ap+b $$

である。両式を引くと、

$$ \frac{n}{m}-\frac{q}{p}=a(m-p) $$

となる。$m\neq p$ より、

$$ a=\frac{\frac{n}{m}-\frac{q}{p}}{m-p} $$

である。

ここで $m,p,n,q$ はすべて整数であり、$m,p,m-p$ は $0$ でない整数であるから、右辺は有理数である。したがって

$$ a\in\mathbb{Q} $$

である。

また、

$$ b=\frac{n}{m}-am $$

であり、$\frac{n}{m}$ と $am$ はともに有理数なので、

$$ b\in\mathbb{Q} $$

である。

よって、$a,b$ はともに有理数である。したがって、ある整数 $A,B,D$ を用いて

$$ a=\frac{A}{D},\quad b=\frac{B}{D} $$

と表せる。ただし $D$ は正の整数としてよい。

ここで

$$ x=Dt \quad (t\in\mathbb{Z}) $$

とおくと、

$$ \begin{aligned} y &=a(Dt)^2+b(Dt)\\ &=\frac{A}{D}D^2t^2+\frac{B}{D}Dt\\ &=ADt^2+Bt \end{aligned} $$

となる。

$ADt^2+Bt$ は整数であるから、任意の整数 $t$ に対して

$$ (Dt,\ ADt^2+Bt) $$

は格子点である。

$t$ は整数全体を動くので、このような格子点は無限個存在する。したがって、グラフ上には無限個の格子点が存在する。

解説

(1) は「すべての整数 $x$ で $y$ が整数になる」と考える必要はない。無限個を示せばよいので、$x$ を分母 $3,2$ を同時に消せる $6$ の倍数に限定すれば十分である。

(2) の核心は、$(0,0)$ 以外の格子点が2つあると、係数 $a,b$ が有理数に決まる点である。$y=ax^2+bx$ は $(0,0)$ を必ず通るため、原点以外の2つの格子点と合わせて、実質的に3つの格子点がある。この条件が係数の有理性を強制している。

係数が有理数であると分かれば、$x$ を共通分母の倍数に取ることで $y$ の分母を消せる。これにより無限個の格子点が得られる。

答え

(1)

$x=6n\ (n\in\mathbb{Z})$ とすれば

$$ y=12n^2+3n $$

となるので、グラフ上には無限個の格子点が存在する。

(2)

$(0,0)$ 以外の2つの格子点を用いると $a,b$ はともに有理数である。したがって、$a=\frac{A}{D},\ b=\frac{B}{D}$ と表せ、$x=Dt\ (t\in\mathbb{Z})$ とすれば

$$ y=ADt^2+Bt $$

は整数となる。よって、グラフ上には無限個の格子点が存在する。