数学A 整数問題 問題 73 解説

方針・初手

条件は $a,b,c$ の入れ替えで変わらないので、まず $x\geqq y\geqq z$ と並べ替えて考える。

このとき、辺の長さが $x,y,z$ である三角形が存在する条件は

$$ x<y+z $$

である。

また、辺の長さが $\dfrac1x,\dfrac1y,\dfrac1z$ である三角形では、最大の辺は $\dfrac1z$ であるから、

$$ \frac1z<\frac1x+\frac1y $$

が必要十分条件である。これを変形すると、

$$ xy<z(x+y) $$

となる。

したがって、$x\geqq y\geqq z$ としたとき、条件 $(*)$ は

$$ x<y+z,\qquad xy<z(x+y) $$

で判定できる。

解法1

（1） $a=b>c$ の場合

$a=b=n,\ c=m$ とおく。ただし $1\leqq m<n\leqq 7$ である。

辺の長さが $n,n,m$ である三角形については、最大の辺は $n$ なので

$$ n<n+m $$

となり、これは常に成り立つ。

一方、辺の長さが $\dfrac1n,\dfrac1n,\dfrac1m$ である三角形では、最大の辺は $\dfrac1m$ であるから、

$$ \frac1m<\frac1n+\frac1n $$

が必要十分条件である。よって

$$ \frac1m<\frac2n $$

より、

$$ n<2m $$

を得る。

したがって、$m<n\leqq 7$ かつ $n<2m$ を満たす組を数えればよい。

[ \begin{array}{c|c} m & n \ \hline 1 & \text{なし} \ 2 & 3 \ 3 & 4,5 \ 4 & 5,6,7 \ 5 & 6,7 \ 6 & 7 \end{array} ]

よって個数は

$$ 1+2+3+2+1=9 $$

である。

（2） $a>b>c$ の場合

この場合はすでに $a>b>c$ と並んでいるので、$x=a,\ y=b,\ z=c$ としてよい。

条件 $(*)$ は

$$ a<b+c,\qquad ab<c(a+b) $$

である。

$1\leqq c<b<a\leqq 7$ の範囲で調べる。

[ \begin{array}{c|c|c} c & b & \text{可能な }a \ \hline 2 & 3 & 4 \ 3 & 4 & 5,6 \ 3 & 5 & 6,7 \ 4 & 5 & 6,7 \ 4 & 6 & 7 \ 5 & 6 & 7 \end{array} ]

したがって、条件を満たす組は

$$ (4,3,2),\ (5,4,3),\ (6,4,3),\ (6,5,3),\ (7,5,3), $$

$$ (6,5,4),\ (7,5,4),\ (7,6,4),\ (7,6,5) $$

の $9$ 個である。

（3） 条件 $(*)$ を満たす全体の個数

条件は $a,b,c$ の入れ替えで変わらないので、まず $x\geqq y\geqq z$ と並べ替えた形で分類する。

分類は次の4通りである。

すべて等しい場合

$$ x=y=z $$

なら、辺の長さが $x,x,x$ の三角形も、$\dfrac1x,\dfrac1x,\dfrac1x$ の三角形も正三角形として存在する。

$x$ は $1$ から $7$ まで取れるので、個数は

$$ 7 $$

である。

最大の2つが等しい場合

$$ x=y>z $$

とする。これは （1） と同じ形であり、個数は

$$ 9 $$

である。

この形は、もとの順序付きの組 $(a,b,c)$ としては、異なる値 $z$ の位置を3通りに選べるので、

$$ 9\cdot 3=27 $$

個である。

最小の2つが等しい場合

$$ x>y=z $$

とする。$x=n,\ y=z=m$ とおくと、辺の長さが $n,m,m$ の三角形が存在する条件は

$$ n<2m $$

である。

また、辺の長さが $\dfrac1n,\dfrac1m,\dfrac1m$ である三角形については、最大の辺は $\dfrac1m$ であり、

$$ \frac1m<\frac1m+\frac1n $$

は常に成り立つ。

したがって、$m<n\leqq 7$ かつ $n<2m$ を満たす組を数えればよい。これは （1） と同じ数え上げになり、個数は

$$ 9 $$

である。

この形も、もとの順序付きの組 $(a,b,c)$ としては、異なる値 $x$ の位置を3通りに選べるので、

$$ 9\cdot 3=27 $$

個である。

すべて異なる場合

$$ x>y>z $$

の場合は （2） と同じ形であり、個数は

$$ 9 $$

である。

この形は $3$ つの値がすべて異なるので、順序付きの組 $(a,b,c)$ としては $3!=6$ 通りずつ対応する。よって

$$ 9\cdot 6=54 $$

個である。

以上より、全体の個数は

$$ 7+27+27+54=115 $$

である。

解説

この問題の中心は、三角形の成立条件を「最大辺が他の2辺の和より小さい」として処理する点である。

特に、逆数の三角形では大小関係が逆転するため、$x\geqq y\geqq z$ と並べたとき、最大辺は $\dfrac1z$ になる。したがって

$$ \frac1z<\frac1x+\frac1y $$

を立てる必要がある。

全体の個数を数えるときは、直接 $7^3=343$ 通りを調べるよりも、条件の対称性を使って

$$ x=y=z,\quad x=y>z,\quad x>y=z,\quad x>y>z $$

に分けると見通しがよい。

答え

(1)

$9$ 個

(2)

$9$ 個

(3)

$115$ 個