数学A 整数問題 問題 74 解説

方針・初手

3つの数を $n$ で割った余りがすべて同じであるから、3つの数の差はすべて $n$ の倍数になる。したがって、まず差の最大公約数を求め、$n$ の候補を絞る。

解法1

2012, 2168, 2376 を $n$ で割った余りがすべて同じ数 $r$ であるとする。

このとき、ある整数 $a,b,c$ を用いて

$$ \begin{aligned} 2012&=an+r,\\ 2168&=bn+r,\\ 2376&=cn+r \end{aligned} $$

と表せる。

したがって、差をとると

$$ 2168-2012=(b-a)n $$

より、$n$ は $156$ の約数である。同様に、

$$ 2376-2168=208 $$

より、$n$ は $208$ の約数でもある。

よって $n$ は $156$ と $208$ の公約数である。最大公約数を求めると、

$$ \gcd(156,208)=52 $$

である。

したがって、$n$ は $52$ の正の約数である。$52$ の正の約数は

$$ 1,\ 2,\ 4,\ 13,\ 26,\ 52 $$

である。

条件より $n$ は $24$ 以上なので、

$$ n=26,\ 52 $$

のみが候補である。

それぞれについて余りを求める。

$n=26$ のとき、

$$ 2012=26\cdot 77+10 $$

であるから、余りは $r=10$ である。

実際、

$$ 2168=26\cdot 83+10,\qquad 2376=26\cdot 91+10 $$

となり、条件を満たす。

$n=52$ のとき、

$$ 2012=52\cdot 38+36 $$

であるから、余りは $r=36$ である。

実際、

$$ 2168=52\cdot 41+36,\qquad 2376=52\cdot 45+36 $$

となり、条件を満たす。

以上より、求める組は

$$ (n,r)=(26,10),\ (52,36) $$

である。

解説

同じ余りになる問題では、元の数そのものを見るよりも、数どうしの差を見るのが基本である。

余りが同じなら、差をとったときに余りが消えるため、その差は割る数 $n$ の倍数になる。したがって、$n$ は差の公約数に限られる。

今回は

$$ 2168-2012=156,\qquad 2376-2168=208 $$

であり、これらの最大公約数が $52$ なので、$n$ は $52$ の約数に限られる。あとは $n\geqq 24$ という条件で候補を絞ればよい。

答え

$$ (n,r)=(26,10),\ (52,36) $$