数学A 整数問題 問題 83 解説

方針・初手

数列は公差 $3$ の等差数列である。まず一般項を求め、次に $3n-2$ が $7$ や $5$ の倍数になる $n$ を合同式で数える。

積 $N=a_1a_2\cdots a_{100}$ に含まれる素因数 $7,5$ の個数は、それぞれ

$$ v_p(N)=\sum_{m\geqq 1} #{n\mid 1\leqq n\leqq 100,\ p^m\mid a_n} $$

で求める。

解法1

$a_1=1,\ a_{n+1}-a_n=3$ より、数列 ${a_n}$ は初項 $1$、公差 $3$ の等差数列である。

したがって一般項は

$$ a_n=1+3(n-1)=3n-2 $$

である。

よって、アは

$$ 3n-2 $$

である。

次に、$a_n$ が $7$ の倍数になる条件を考える。

$$ 3n-2\equiv 0 \pmod{7} $$

より、

$$ 3n\equiv 2 \pmod{7} $$

である。$3$ の $7$ における逆元は $5$ なので、

$$ n\equiv 10\equiv 3 \pmod{7} $$

となる。

したがって、最小の正の整数 $n$ は

$$ d=3 $$

である。よって、イは $3$ である。

また、$n=7k+3$ とおくと、

$$ a_n=3(7k+3)-2=21k+7=7(3k+1) $$

となるので、すべて $7$ の倍数である。

次に、$N=a_1a_2\cdots a_{100}$ に含まれる素因数 $7$ の個数を求める。

$a_n=3n-2$ であり、$1\leqq n\leqq 100$ の範囲で考える。

まず $7$ の倍数になる $n$ は

$$ n\equiv 3 \pmod{7} $$

であるから、

$$ n=3,10,17,\ldots,94 $$

である。これは

$$ \frac{94-3}{7}+1=14 $$

個である。

次に $49$ の倍数になる $n$ を数える。

$$ 3n-2\equiv 0 \pmod{49} $$

より、

$$ 3n\equiv 2 \pmod{49} $$

である。$3$ の $49$ における逆元は $33$ なので、

$$ n\equiv 66\equiv 17 \pmod{49} $$

となる。

$1\leqq n\leqq 100$ では、

$$ n=17,66 $$

の $2$ 個である。

$343>298$ であり、最大の項は $a_{100}=298$ なので、$343$ の倍数は現れない。

したがって、素因数 $7$ の個数は

$$ 14+2=16 $$

である。よって、ウは $16$ である。

次に、素因数 $5$ の個数を求める。

まず $5$ の倍数になる条件は

$$ 3n-2\equiv 0 \pmod{5} $$

であるから、

$$ 3n\equiv 2 \pmod{5} $$

となる。$3$ の $5$ における逆元は $2$ なので、

$$ n\equiv 4 \pmod{5} $$

である。

$1\leqq n\leqq 100$ では、

$$ n=4,9,14,\ldots,99 $$

であり、個数は

$$ \frac{99-4}{5}+1=20 $$

である。

次に $25$ の倍数になる条件を考える。

$$ 3n-2\equiv 0 \pmod{25} $$

より、

$$ 3n\equiv 2 \pmod{25} $$

である。$3$ の $25$ における逆元は $17$ なので、

$$ n\equiv 34\equiv 9 \pmod{25} $$

となる。

$1\leqq n\leqq 100$ では、

$$ n=9,34,59,84 $$

の $4$ 個である。

さらに $125$ の倍数になる条件を考える。

$$ 3n-2\equiv 0 \pmod{125} $$

より、

$$ 3n\equiv 2 \pmod{125} $$

である。$3$ の $125$ における逆元は $42$ なので、

$$ n\equiv 84 \pmod{125} $$

である。

$1\leqq n\leqq 100$ では、

$$ n=84 $$

の $1$ 個である。

$625>298$ なので、これ以上は数えなくてよい。

したがって、素因数 $5$ の個数は

$$ 20+4+1=25 $$

である。よって、エは $25$ である。

最後に、$N$ を $3$ で割った余りを求める。

各項は

$$ a_n=3n-2\equiv -2\equiv 1 \pmod{3} $$

である。

したがって、

$$ N=a_1a_2\cdots a_{100}\equiv 1^{100}\equiv 1 \pmod{3} $$

である。

よって、オは $1$ である。

解説

この問題の中心は、等差数列の一般項を出したあと、積に含まれる素因数の個数を合同式で数えることである。

特に、素因数 $7$ の個数を数えるときは、単に $7$ の倍数の項を数えるだけでは不十分である。$49$ の倍数になっている項は $7$ をもう $1$ 個含むため、追加で数える必要がある。

同様に、素因数 $5$ についても、$5$ の倍数、$25$ の倍数、$125$ の倍数を順に数える。これは階乗に含まれる素因数の個数を数える方法と同じ発想である。

また、$N$ を $3$ で割った余りは、各項 $a_n=3n-2$ がすべて $3$ で割って $1$ 余ることに気づけば、積全体も $1$ 余ると分かる。

答え

$$ \boxed{\text{ア}=3n-2} $$

$$ \boxed{\text{イ}=3} $$

$$ \boxed{\text{ウ}=16} $$

$$ \boxed{\text{エ}=25} $$

$$ \boxed{\text{オ}=1} $$