数学A 整数問題 問題 82 解説

方針・初手

$y$ についての2次方程式と見て、自然数解をもつために判別式が平方数になる条件を調べる。判別式が平方数になる条件は、差の平方の形に変形できるので、約数の有限個の調査に帰着できる。

解法1

与えられた式を $y$ について整理する。

$$ 2x^2+xy-5x-y^2+y-30=0 $$

より、

$$ y^2-(x+1)y-2x^2+5x+30=0 $$

である。

$y$ が整数であるためには、この2次方程式の判別式が平方数でなければならない。判別式を $D$ とすると、

$$ \begin{aligned} D &=(x+1)^2-4\cdot 1\cdot(-2x^2+5x+30)\\ &=(x+1)^2+8x^2-20x-120\\ &=9x^2-18x-119\\ &=(3x-3)^2-128 \end{aligned} $$

である。

したがって、ある整数 $n \geqq 0$ を用いて

$$ n^2=(3x-3)^2-128 $$

と書ける。よって、

$$ (3x-3-n)(3x-3+n)=128 $$

となる。

ここで $x$ は自然数であり、左辺の積は正であるから、$3x-3-n$ と $3x-3+n$ は正の整数である。また、この2つは和が $6x-6$ で偶数なので、同じ偶奇である。積が $128$ で偶数だから、両方とも偶数でなければならない。

よって、$3x-3-n \leqq 3x-3+n$ として、考えるべき組は

$$ (3x-3-n,\ 3x-3+n)=(2,64),(4,32),(8,16) $$

のみである。

それぞれ調べる。

(i)

$(3x-3-n,\ 3x-3+n)=(2,64)$ のとき

$$ 6x-6=66 $$

より、

$$ x=12 $$

である。また、

$$ 2n=64-2=62 $$

より、

$$ n=31 $$

である。したがって、

$$ y=\frac{x+1\pm n}{2}=\frac{13\pm 31}{2} $$

なので、自然数となるのは

$$ y=22 $$

である。

(ii)

$(3x-3-n,\ 3x-3+n)=(4,32)$ のとき

$$ 6x-6=36 $$

より、

$$ x=7 $$

である。また、

$$ 2n=32-4=28 $$

より、

$$ n=14 $$

である。したがって、

$$ y=\frac{x+1\pm n}{2}=\frac{8\pm 14}{2} $$

なので、自然数となるのは

$$ y=11 $$

である。

(iii)

$(3x-3-n,\ 3x-3+n)=(8,16)$ のとき

$$ 6x-6=24 $$

より、

$$ x=5 $$

である。また、

$$ 2n=16-8=8 $$

より、

$$ n=4 $$

である。したがって、

$$ y=\frac{x+1\pm n}{2}=\frac{6\pm 4}{2} $$

なので、

$$ y=5,\ 1 $$

である。

以上より、候補は

$$ (x,y)=(12,22),(7,11),(5,5),(5,1) $$

である。これらはいずれも元の式を満たす。

解説

この問題では、$x,y$ が自然数であることを使って、2次方程式の判別式を平方数にするのが自然な方針である。

判別式が

$$ D=(3x-3)^2-128 $$

となるため、平方数条件を

$$ (3x-3-n)(3x-3+n)=128 $$

という約数の問題に変換できる。この形にすると、調べるべき場合が有限個に絞られる。

注意すべき点は、因数の偶奇である。2つの因数は同じ偶奇で、積が $128$ なので、両方とも偶数でなければならない。そのため、$(1,128)$ のような組は除外される。

答え

$$ (x,y)=(5,1),(5,5),(7,11),(12,22) $$