数学A 整数問題 問題 85 解説

方針・初手

式 $n^3-7n+9$ が常に $3$ で割り切れることに注目する。素数であり、かつ $3$ の倍数である整数は $3$ しかないので、あとは

$$ n^3-7n+9=3 $$

を解けばよい。

解法1

任意の整数 $n$ について、合同式

$$ n^3 \equiv n \pmod{3} $$

が成り立つ。したがって

$$ n^3-7n+9 \equiv n-7n+9=-6n+9 \equiv 0 \pmod{3} $$

である。

よって $n^3-7n+9$ は常に $3$ の倍数である。

これが素数となるためには、正の素数であることに加えて、$3$ の倍数であるから

$$ n^3-7n+9=3 $$

でなければならない。

これを整理すると

$$ n^3-7n+6=0 $$

である。左辺を因数分解すると

$$ n^3-7n+6=(n-1)(n-2)(n+3) $$

となるので、

$$ (n-1)(n-2)(n+3)=0 $$

より

$$ n=1,\ 2,\ -3 $$

を得る。

実際に代入すると、

$$ 1^3-7\cdot 1+9=3 $$

$$ 2^3-7\cdot 2+9=3 $$

$$ (-3)^3-7(-3)+9=3 $$

であり、いずれも素数である。

解説

この問題では、直接値を調べるのではなく、まず合同式で「必ず $3$ の倍数になる」ことを見抜くのが重要である。

$n^3 \equiv n \pmod{3}$ は整数問題で頻出の性質であり、これを使うと与式が常に $3$ の倍数であることがすぐ分かる。素数である $3$ の倍数は $3$ 自身しかないため、問題は三次方程式

$$ n^3-7n+6=0 $$

を解くことに帰着される。

答え

$$ n=-3,\ 1,\ 2 $$