数学A 整数問題 問題 86 解説

方針・初手

有限小数になる既約分数は、分母の素因数が $2$ と $5$ だけであることを利用する。

したがって、$1/n$ が有限小数になるためには、$n$ が

$$ n=2^a5^b $$

の形で表される必要がある。ここで $a,b$ は $0$ 以上の整数である。

解法1

まず、

$$ 0.321=\frac{321}{1000}=\frac{321}{10^3} $$

であるから、①は $321$ である。

また、

$$ 10=2\cdot 5 $$

より、$10$ の素因数は小さい順に $2,5$ である。したがって、②は $2$、③は $5$ である。

次に、$2^k<1000$ を満たす最大の正の整数 $k$ を求める。

$$ 2^9=512,\qquad 2^{10}=1024 $$

であるから、

$$ 2^9<1000<2^{10} $$

となる。よって、④は $9$ である。

次に、$2\leqq n\leqq 1000$ の整数 $n$ のうち、$1/n$ が有限小数となるものを数える。

$1/n$ はすでに既約分数なので、有限小数となるためには、$n$ の素因数が $2$ と $5$ だけでなければならない。したがって、

$$ n=2^a5^b $$

とおける。ただし $a,b$ は $0$ 以上の整数であり、$n=1$ は除く。

$b$ の値ごとに数える。

(i)

$b=0$ のとき

$$ 2^a\leqq 1000 $$

より、$a=0,1,\dots,9$ である。よって $10$ 個。

(ii)

$b=1$ のとき

$$ 5\cdot 2^a\leqq 1000 $$

より、

$$ 2^a\leqq 200 $$

である。したがって、$a=0,1,\dots,7$ であり、$8$ 個。

(iii)

$b=2$ のとき

$$ 25\cdot 2^a\leqq 1000 $$

より、

$$ 2^a\leqq 40 $$

である。したがって、$a=0,1,\dots,5$ であり、$6$ 個。

(iv)

$b=3$ のとき

$$ 125\cdot 2^a\leqq 1000 $$

より、

$$ 2^a\leqq 8 $$

である。したがって、$a=0,1,2,3$ であり、$4$ 個。

(v)

$b=4$ のとき

$$ 625\cdot 2^a\leqq 1000 $$

より、

$$ 2^a\leqq \frac{1000}{625}=1.6 $$

である。したがって、$a=0$ のみであり、$1$ 個。

$b\geqq 5$ のときは $5^5=3125>1000$ なので不可能である。

よって、$2^a5^b\leqq 1000$ となる組 $(a,b)$ は

$$ 10+8+6+4+1=29 $$

個ある。ただし、この中には

$$ 2^05^0=1 $$

が含まれている。今回は $2\leqq n\leqq 1000$ なので、$n=1$ を除く。

したがって、

$$ 29-1=28 $$

より、⑤は $28$ である。

最後に、これらの有限小数のうち、ちょうど小数第 $3$ 位で終わるものを数える。

$n=2^a5^b$ のとき、$1/n$ を有限小数で表すために必要な小数の桁数は

$$ \max(a,b) $$

である。

したがって、ちょうど小数第 $3$ 位で終わるためには、

$$ \max(a,b)=3 $$

であればよい。

$a,b$ がともに $0,1,2,3$ のいずれかである組は

$$ 4\cdot 4=16 $$

個である。このうち、$\max(a,b)\leqq 2$ となる組は、$a,b$ がともに $0,1,2$ のいずれかである組なので、

$$ 3\cdot 3=9 $$

個である。

よって、

$$ 16-9=7 $$

個である。したがって、⑥は $7$ である。

解説

有限小数の判定では、既約分数の分母に注目する。分母の素因数が $2$ と $5$ だけなら、分母に $2$ または $5$ を補って $10^k$ の形にできる。

$1/n$ の場合は分子が $1$ なので、最初から既約分数である。そのため、$n$ 自体が $2^a5^b$ の形であるかどうかだけを調べればよい。

また、ちょうど小数第 $3$ 位で終わる条件は、単に $n\mid 1000$ ではない。$1/4=0.25$ のように、小数第 $2$ 位で終わるものもある。したがって、必要な桁数がちょうど $3$、すなわち $\max(a,b)=3$ であることを使う。

答え

$$ \boxed{①=321} $$

$$ \boxed{②=2} $$

$$ \boxed{③=5} $$

$$ \boxed{④=9} $$

$$ \boxed{⑤=28} $$

$$ \boxed{⑥=7} $$