数学A 整数問題 問題 93 解説

方針・初手

多項式の各項を見ると、$z$ を含む部分と含まない部分をまとめるよりも、まず $x$ について整理すると共通因数が見えやすい。

解法1

まず $P(x,y,z)$ を $x$ について整理する。

$$ \begin{aligned} P(x,y,z) &=xyz-3xy-2xz+6x-yz+3y+2z-6\\ &=x(yz-3y-2z+6)-(yz-3y-2z+6)\\ &=(x-1)(yz-3y-2z+6) \end{aligned} $$

ここで

$$ yz-3y-2z+6=(y-2)(z-3) $$

であるから、

$$ P(x,y,z)=(x-1)(y-2)(z-3) $$

となる。

次に、$P(0,y,z)=1$ を考える。

$$ P(0,y,z)=(0-1)(y-2)(z-3)=-(y-2)(z-3) $$

したがって

$$ -(y-2)(z-3)=1 $$

より、

$$ (y-2)(z-3)=-1 $$

である。

整数の積が $-1$ となるのは、

$$ (y-2,z-3)=(1,-1),\ (-1,1) $$

の場合だけである。

よって、

$$ (y,z)=(3,2),\ (1,4) $$

である。

最後に、

$$ xyz-3xy-2xz-yz+6x+3y+2z-7=0 $$

を考える。左辺は

$$ P(x,y,z)-1 $$

であるから、条件は

$$ (x-1)(y-2)(z-3)-1=0 $$

すなわち

$$ (x-1)(y-2)(z-3)=1 $$

である。

$x,y,z$ は自然数なので、$x-1\geqq 0$ である。また積が $1$ だから $x-1\neq 0$ であり、

$$ x-1=1 $$

でなければならない。

したがって $x=2$ であり、

$$ (y-2)(z-3)=1 $$

を解けばよい。

整数の積が $1$ となるのは、

$$ (y-2,z-3)=(1,1),\ (-1,-1) $$

の場合である。

よって、

$$ (y,z)=(3,4),\ (1,2) $$

となる。

したがって、自然数の組 $(x,y,z)$ は

$$ (x,y,z)=(2,3,4),\ (2,1,2) $$

である。

解説

この問題の中心は、与えられた多項式を

$$ (x-1)(y-2)(z-3) $$

の形に因数分解することである。

特に、$xyz$、$xy$、$xz$、$x$ の項を先に $x$ でまとめると、

$$ x(yz-3y-2z+6) $$

が現れ、残りも同じ形の符号違いになっていることが分かる。

(2) と (3) は、因数分解後は整数の積が $\pm 1$ になる問題に帰着される。積が $\pm 1$ になる整数の組は限られているため、因数の候補をすべて調べればよい。

答え

(1)

$$ P(x,y,z)=(x-1)(y-2)(z-3) $$

(2)

$$ (y,z)=(3,2),\ (1,4) $$

(3)

$$ (x,y,z)=(2,3,4),\ (2,1,2) $$