数学A 整数問題 問題 92 解説

方針・初手

$24=8\cdot 3$ であり、$8$ と $3$ は互いに素である。したがって、$P^2-1$ が $8$ でも $3$ でも割り切れることを示せばよい。

条件より $P$ は $2$ で割り切れないので奇数であり、また $3$ で割り切れないので、$3$ で割った余りは $1$ または $2$ である。

解法1

まず、$P$ は $2$ で割り切れないから奇数である。よって、ある整数 $k$ を用いて

$$ P=2k+1 $$

と表せる。このとき

$$ P^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k=4k(k+1) $$

である。

ここで、連続する2整数 $k,\ k+1$ の一方は偶数であるから、$k(k+1)$ は $2$ で割り切れる。したがって

$$ 4k(k+1) $$

は $8$ で割り切れる。ゆえに

$$ P^2-1 $$

は $8$ で割り切れる。

次に、$P$ は $3$ で割り切れないから、$P$ を $3$ で割った余りは $1$ または $2$ である。

(i)

$P$ を $3$ で割った余りが $1$ のとき、

$$ P\equiv 1 \pmod{3} $$

より

$$ P^2\equiv 1^2\equiv 1 \pmod{3} $$

である。

(ii)

$P$ を $3$ で割った余りが $2$ のとき、

$$ P\equiv 2 \pmod{3} $$

より

$$ P^2\equiv 2^2=4\equiv 1 \pmod{3} $$

である。

いずれの場合も

$$ P^2\equiv 1 \pmod{3} $$

だから、

$$ P^2-1\equiv 0 \pmod{3} $$

である。つまり、$P^2-1$ は $3$ で割り切れる。

以上より、$P^2-1$ は $8$ でも $3$ でも割り切れる。さらに $8$ と $3$ は互いに素であるから、$P^2-1$ は

$$ 8\cdot 3=24 $$

で割り切れる。

したがって、自然数 $P$ が $2$ でも $3$ でも割り切れないとき、$P^2-1$ は $24$ で割り切れる。

解法2

$P$ は $2$ でも $3$ でも割り切れないので、$P$ を $6$ で割った余りは $1$ または $5$ である。したがって、整数 $k$ を用いて

$$ P=6k+1 $$

または

$$ P=6k-1 $$

と表せる。

(i)

$P=6k+1$ のとき、

$$ P^2-1=(6k+1)^2-1=36k^2+12k=12k(3k+1) $$

である。

ここで、$k$ が偶数なら $12k(3k+1)$ は $24$ で割り切れる。$k$ が奇数なら、$3k$ は奇数なので $3k+1$ は偶数である。したがって、この場合も $12k(3k+1)$ は $24$ で割り切れる。

よって、$P=6k+1$ のとき、$P^2-1$ は $24$ で割り切れる。

(ii)

$P=6k-1$ のとき、

$$ P^2-1=(6k-1)^2-1=36k^2-12k=12k(3k-1) $$

である。

ここで、$k$ が偶数なら $12k(3k-1)$ は $24$ で割り切れる。$k$ が奇数なら、$3k$ は奇数なので $3k-1$ は偶数である。したがって、この場合も $12k(3k-1)$ は $24$ で割り切れる。

よって、$P=6k-1$ のときも、$P^2-1$ は $24$ で割り切れる。

以上より、どちらの場合でも $P^2-1$ は $24$ で割り切れる。

解説

この問題の要点は、$24$ をそのまま扱うのではなく、

$$ 24=8\cdot 3 $$

と分解して考えることである。

$P$ が $2$ で割り切れないことから $P$ は奇数であり、奇数の平方から $1$ を引いた数は $8$ で割り切れる。また、$P$ が $3$ で割り切れないことから、$P$ は $3$ を法として $\pm 1$ に等しく、したがって $P^2-1$ は $3$ で割り切れる。

$8$ と $3$ が互いに素であるため、両方で割り切れる数は $24$ で割り切れる。この流れが最も標準的である。

答え

自然数 $P$ が $2$ でも $3$ でも割り切れないとき、

$$ P^2-1 $$

は $8$ でも $3$ でも割り切れる。$8$ と $3$ は互いに素なので、

$$ P^2-1 $$

は $24$ で割り切れる。