数学A 整数問題 問題 100 解説

方針・初手

まず積分を実行して、条件 $(*)$ を $a,b,c$ の整数方程式に直す。$a\ne b$ のときは因数 $b-a$ を消すことができるので、そこから合同式と因数分解で処理する。

特に $c=3600$ の個数問題では、(1) で分かる $3\mid c$ に合わせて $b-a=3r$ とおくと、差の平方の形に変形でき、約数の個数に帰着できる。

解法1

与えられた条件は

$$ \int_a^c (x^2+bx),dx=\int_b^c (x^2+ax),dx $$

である。両辺を計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_a^c (x^2+bx),dx &=\left[\frac{x^3}{3}+\frac{b x^2}{2}\right]_a^c,\\ \int_b^c (x^2+ax),dx &=\left[\frac{x^3}{3}+\frac{a x^2}{2}\right]_b^c. \end{aligned} $$

したがって、左辺から右辺を引くと

$$ \begin{aligned} 0 &=\left(\frac{c^3}{3}+\frac{bc^2}{2}-\frac{a^3}{3}-\frac{ba^2}{2}\right) -\left(\frac{c^3}{3}+\frac{ac^2}{2}-\frac{b^3}{3}-\frac{ab^2}{2}\right)\\ &=\frac{(b-a)c^2}{2}+\frac{b^3-a^3}{3}+\frac{ab(b-a)}{2}\\ &=(b-a)\left\{\frac{c^2}{2}+\frac{a^2+ab+b^2}{3}+\frac{ab}{2}\right\}. \end{aligned} $$

よって

$$ (b-a)\left(2a^2+5ab+2b^2+3c^2\right)=0 $$

を得る。

(1)

$a\ne b$ であるから、

$$ 2a^2+5ab+2b^2+3c^2=0 $$

である。

これを $3$ で割った余りで考えると、

$$ 2a^2+2ab+2b^2\equiv 0 \pmod 3 $$

である。$2$ は $3$ と互いに素なので、

$$ a^2+ab+b^2\equiv 0 \pmod 3 $$

となる。ここで

$$ a^2+ab+b^2\equiv (a-b)^2 \pmod 3 $$

であるから、

$$ (a-b)^2\equiv 0 \pmod 3 $$

となる。よって

$$ a-b\equiv 0 \pmod 3 $$

である。

したがって、ある整数 $k$ を用いて

$$ a-b=3k $$

とおける。

また、

$$ 2a^2+5ab+2b^2+3c^2=0 $$

を変形すると、

$$ (a-b)^2-9(a+b)^2=12c^2 $$

である。実際、

$$ (a-b)^2-9(a+b)^2=-4(2a^2+5ab+2b^2) $$

であり、$2a^2+5ab+2b^2=-3c^2$ だからである。

ここに $a-b=3k$ を代入すると、

$$ 9k^2-9(a+b)^2=12c^2 $$

すなわち

$$ 3{k^2-(a+b)^2}=4c^2 $$

となる。左辺は $3$ の倍数であるから、右辺 $4c^2$ も $3$ の倍数である。$3$ と $4$ は互いに素なので、

$$ 3\mid c^2 $$

である。よって

$$ 3\mid c $$

である。

したがって、$c$ は $3$ の倍数である。

(2)

$c=3600$ とする。$a<b$ なので $a\ne b$ であり、(1) の議論から $a\equiv b\pmod 3$ である。

よって、ある正の整数 $r$ を用いて

$$ b-a=3r $$

とおける。また

$$ s=a+b $$

とおく。

先ほど得た式

$$ (a-b)^2-9(a+b)^2=12c^2 $$

に $b-a=3r$、$s=a+b$、$c=3600=3\cdot 1200$ を代入すると、

$$ 9r^2-9s^2=12\cdot 3600^2 $$

である。両辺を $9$ で割ると、

$$ r^2-s^2=12\cdot 1200^2 $$

となる。したがって

$$ (r-s)(r+s)=12\cdot 1200^2 $$

である。

右辺は $4$ の倍数である。もし $r$ と $s$ の偶奇が異なれば $r^2-s^2$ は奇数になるので矛盾する。よって $r$ と $s$ は同じ偶奇であり、$r-s$ と $r+s$ はともに偶数である。

そこで

$$ r-s=2u,\qquad r+s=2v $$

とおく。ただし $r>|s|$ であるから、$u,v$ は正の整数である。

すると

$$ 4uv=12\cdot 1200^2 $$

より

$$ uv=3\cdot 1200^2 $$

である。

ここで

$$ 1200=2^4\cdot 3\cdot 5^2 $$

だから、

$$ 3\cdot 1200^2 =3\cdot (2^4\cdot 3\cdot 5^2)^2 =2^8\cdot 3^3\cdot 5^4 $$

である。

したがって、$uv=3\cdot 1200^2$ をみたす正の整数の組 $(u,v)$ の個数は、$u$ を正の約数として選べば $v$ が一意に決まるので、

$$ (8+1)(3+1)(4+1)=180 $$

である。

逆に、このような正の整数の組 $(u,v)$ から

$$ r=u+v,\qquad s=v-u $$

と定めると、

$$ r^2-s^2=(r-s)(r+s)=4uv=12\cdot 1200^2 $$

を満たす。また $r$ と $s$ は同じ偶奇であるから、

$$ a=\frac{s-3r}{2},\qquad b=\frac{s+3r}{2} $$

は整数であり、

$$ b-a=3r>0 $$

より $a<b$ である。したがって、すべての組が条件を満たす。

よって求める整数の組 $(a,b)$ の個数は

$$ 180 $$

である。

解説

この問題の中心は、積分条件をそのまま扱わず、まず $a,b,c$ の整数方程式に直すことである。積分を計算すると、条件は

$$ (b-a)\left(2a^2+5ab+2b^2+3c^2\right)=0 $$

に整理される。

$a\ne b$ の場合は第2因子が $0$ となる。ここで合同式を使うと $a-b$ が $3$ の倍数であることが分かり、さらに

$$ (a-b)^2-9(a+b)^2=12c^2 $$

という差の平方の形に直すことで $3\mid c$ が導ける。

個数問題では、$b-a=3r$、$a+b=s$ とおくことで

$$ r^2-s^2=12\cdot 1200^2 $$

となり、結局は

$$ uv=3\cdot 1200^2 $$

の正の整数解の個数を数える問題になる。ここで「順序つきの因数分解」を数える点が重要である。

答え

(1)

$c$ は $3$ の倍数である。

(2)

求める整数の組 $(a,b)$ の個数は

$$ 180 $$

である。