数学A 整数問題 問題 107 解説

方針・初手

数列全体を調べる必要はない。第 $6$ 項まで具体的に計算し、第 $6$ 項がどの自然数 $p$ に対しても平方数にならないことを示す。

解法1

漸化式

$$ a_{n+2}=a_{n+1}-a_n+13 $$

より、順に計算する。

まず、

$$ a_3=a_2-a_1+13=p^2-1+13=p^2+12 $$

である。次に、

$$ a_4=a_3-a_2+13=(p^2+12)-p^2+13=25 $$

となる。さらに、

$$ a_5=a_4-a_3+13=25-(p^2+12)+13=26-p^2 $$

であり、

$$ a_6=a_5-a_4+13=(26-p^2)-25+13=14-p^2 $$

である。

したがって、第 $6$ 項は

$$ a_6=14-p^2 $$

である。これが平方数でないことを示す。

(i)

$p$ が偶数のとき

$p^2$ は $4$ で割り切れるので、

$$ a_6=14-p^2 \equiv 2 \pmod{4} $$

である。一方、整数の平方は $4$ で割ると余りが $0$ または $1$ に限られる。よって、$a_6$ は平方数でない。

(ii)

$p$ が奇数のとき

奇数の平方は $8$ で割ると余りが $1$ であるから、

$$ p^2 \equiv 1 \pmod{8} $$

である。よって、

$$ a_6=14-p^2 \equiv 6-1 \equiv 5 \pmod{8} $$

となる。一方、整数の平方は $8$ で割ると余りが $0,1,4$ のいずれかに限られる。したがって、$a_6$ は平方数でない。

以上より、$p$ が偶数の場合も奇数の場合も、第 $6$ 項 $a_6$ は平方数ではない。

したがって、数列 ${a_n}$ には平方数でない項が存在する。

解説

この問題では、すべての項を調べようとする必要はない。第 $6$ 項まで計算すると

$$ a_6=14-p^2 $$

という形が現れるため、合同式で平方数かどうかを判定すればよい。

平方数の典型的な判定として、偶奇に応じて

$$ x^2 \equiv 0,1 \pmod{4} $$

または

$$ x^2 \equiv 0,1,4 \pmod{8} $$

を用いる。今回は $p$ の偶奇で分けると、$a_6$ が平方数の取り得ない余りになるため、第 $6$ 項そのものが常に反例になっている。

答え

第 $6$ 項は

$$ a_6=14-p^2 $$

であり、$p$ が偶数なら $a_6\equiv 2\pmod{4}$、$p$ が奇数なら $a_6\equiv 5\pmod{8}$ となる。いずれも平方数の取り得る余りではない。

したがって、数列 ${a_n}$ には平方数でない項が存在する。