数学B 等差数列･等比数列 問題 9 解説

方針・初手

3つの数がある順に等差数列となる条件は、3つのうち1つが残り2つの平均になることである。

また、3つの数がある順に等比数列となる条件は、3つのうち1つの平方が残り2つの積になることである。

したがって、等差数列になるときの中項で場合分けし、そのうえで等比数列になる条件を調べる。

解法1

まず、$4,p,q$ がある順に等比数列となる条件を考える。

等比数列の中項が $4,p,q$ のいずれかであるから、次のいずれかが成り立つ。

$$ pq=16,\qquad p^2=4q,\qquad q^2=4p $$

次に、等差数列になる条件で場合分けする。

(i)

$4$ が等差数列の中項である場合

このとき、

$$ p+q=8 $$

である。

まず $pq=16$ とすると、$p,q$ は方程式

$$ t^2-8t+16=0 $$

の2解である。よって $t=4$ となり、$p=q=4$ であるから、$p<q$ に反する。

次に $p^2=4q$ とする。$q=8-p$ を代入すると、

$$ p^2=4(8-p) $$

より、

$$ p^2+4p-32=0 $$

すなわち、

$$ (p-4)(p+8)=0 $$

である。$p=4$ のとき $q=4$ となり不適である。$p=-8$ のとき $q=16$ となり、$p<q$ を満たす。

次に $q^2=4p$ とする。$p=8-q$ を代入すると、

$$ q^2=4(8-q) $$

より、

$$ q^2+4q-32=0 $$

すなわち、

$$ (q-4)(q+8)=0 $$

である。$q=4$ のとき $p=4$ となり不適である。$q=-8$ のとき $p=16$ となり、$p<q$ に反する。

したがって、この場合に得られる組は

$$ (p,q)=(-8,16) $$

である。

(ii)

$p$ が等差数列の中項である場合

このとき、

$$ p=\frac{4+q}{2} $$

より、

$$ q=2p-4 $$

である。また $p<q$ より $p>4$ である。

$3$ つの等比条件をそれぞれ調べる。

$$ pq=16 $$

に $q=2p-4$ を代入すると、

$$ p(2p-4)=16 $$

より、

$$ p^2-2p-8=0 $$

したがって $p=4,-2$ である。これは $p>4$ を満たさない。

次に、

$$ p^2=4q $$

に $q=2p-4$ を代入すると、

$$ p^2=4(2p-4) $$

より、

$$ (p-4)^2=0 $$

となる。よって $p=4$ であり、これも $p>4$ を満たさない。

最後に、

$$ q^2=4p $$

に $q=2p-4$ を代入すると、

$$ (2p-4)^2=4p $$

より、

$$ p^2-5p+4=0 $$

すなわち、

$$ (p-1)(p-4)=0 $$

である。よって $p=1,4$ であり、いずれも $p>4$ を満たさない。

したがって、この場合は解をもたない。

(iii)

$q$ が等差数列の中項である場合

このとき、

$$ q=\frac{4+p}{2} $$

より、

$$ p=2q-4 $$

である。また $p<q$ より $q<4$ である。

まず、

$$ pq=16 $$

に $p=2q-4$ を代入すると、

$$ (2q-4)q=16 $$

より、

$$ q^2-2q-8=0 $$

したがって、

$$ (q-4)(q+2)=0 $$

である。$q=4$ は不適であり、$q=-2$ のとき $p=-8$ である。よって

$$ (p,q)=(-8,-2) $$

を得る。

次に、

$$ p^2=4q $$

に $p=2q-4$ を代入すると、

$$ (2q-4)^2=4q $$

より、

$$ q^2-5q+4=0 $$

すなわち、

$$ (q-1)(q-4)=0 $$

である。$q=4$ は不適であり、$q=1$ のとき $p=-2$ である。よって

$$ (p,q)=(-2,1) $$

を得る。

最後に、

$$ q^2=4p $$

に $p=2q-4$ を代入すると、

$$ q^2=4(2q-4) $$

より、

$$ (q-4)^2=0 $$

となる。よって $q=4$ であり、$q<4$ を満たさない。

したがって、この場合に得られる組は

$$ (p,q)=(-8,-2),\ (-2,1) $$

である。

得られた組が実際に条件を満たすことを確認する。

$(p,q)=(-8,16)$ のとき、$-8,4,16$ は等差数列であり、$4,-8,16$ は等比数列である。

$(p,q)=(-8,-2)$ のとき、$-8,-2,4$ は等差数列であり、$-8,4,-2$ は等比数列である。

$(p,q)=(-2,1)$ のとき、$-2,1,4$ は等差数列であり、$4,-2,1$ は等比数列である。

よって、すべて条件を満たす。

解説

この問題では、等差数列と等比数列の「中項の条件」を使うのが最短である。

3つの数 $a,b,c$ がこの順に等差数列であることは $2b=a+c$ と同値であり、等比数列であることは $b^2=ac$ と同値である。

ただし、今回は $4,p,q$ を並べ替えることができるため、どの数が中項になるかを場合分けする必要がある。特に、等差数列と等比数列で同じ数が中項になるとは限らない点が見落としやすい。

答え

$$ (p,q)=(-8,16),\ (-8,-2),\ (-2,1) $$