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東北大学 2024年文系第4問解説

方針・初手

定義式

$$ (1+\sqrt2)^n=a_n+b_n\sqrt2 $$

に $1+\sqrt2$ を掛けると、$a_n,b_n$ の漸化式が得られる。

また、$\sqrt2$ の共役を用いて $(1-\sqrt2)^n$ を考えると、

$$ a_n^2-2b_n^2=(-1)^n $$

が導ける。これを使うと（3）はきれいに処理できる。

（4）は、求めた $b_5,b_6$ を用いて一次不定方程式を解けばよい。

解法1

(1)

定義式に $1+\sqrt2$ を掛けると、

$$ \begin{aligned} (1+\sqrt2)^{n+1} &=(a_n+b_n\sqrt2)(1+\sqrt2)\\ &=(a_n+2b_n)+(a_n+b_n)\sqrt2 \end{aligned} $$

となる。$\sqrt2$ は無理数であるから、整数部分と $\sqrt2$ の係数を比較して

$$ a_{n+1}=a_n+2b_n,\qquad b_{n+1}=a_n+b_n $$

を得る。

まず

$$ (1+\sqrt2)^1=1+\sqrt2 $$

より

$$ a_1=1,\qquad b_1=1 $$

である。

これを用いて順に計算すると、

$$ \begin{aligned} (a_2,b_2)&=(3,2),\\ (a_3,b_3)&=(7,5),\\ (a_4,b_4)&=(17,12),\\ (a_5,b_5)&=(41,29),\\ (a_6,b_6)&=(99,70) \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ b_4=12,\qquad b_5=29,\qquad b_6=70 $$

である。

(2)

等式

$$ (1-\sqrt2)^n=a_n-b_n\sqrt2 $$

がすべての正の整数 $n$ で成り立つことを数学的帰納法で示す。

まず $n=1$ のとき、

$$ (1-\sqrt2)^1=1-\sqrt2=a_1-b_1\sqrt2 $$

であり成り立つ。

次に、ある正の整数 $n$ で

$$ (1-\sqrt2)^n=a_n-b_n\sqrt2 $$

が成り立つと仮定する。

このとき、

$$ \begin{aligned} (1-\sqrt2)^{n+1} &=(a_n-b_n\sqrt2)(1-\sqrt2)\\ &=(a_n+2b_n)-(a_n+b_n)\sqrt2 \end{aligned} $$

となる。（1）で得た漸化式

$$ a_{n+1}=a_n+2b_n,\qquad b_{n+1}=a_n+b_n $$

を用いれば、

$$ (1-\sqrt2)^{n+1}=a_{n+1}-b_{n+1}\sqrt2 $$

となる。よって $n+1$ でも成り立つ。

以上より、すべての正の整数 $n$ について

$$ (1-\sqrt2)^n=a_n-b_n\sqrt2 $$

が成り立つ。

(3)

まず（1）の漸化式を $n-1$ に対して用いると、

$$ b_n=a_{n-1}+b_{n-1},\qquad a_n=a_{n-1}+2b_{n-1} $$

である。したがって

$$ a_n-b_n=b_{n-1} $$

より

$$ a_n=b_n+b_{n-1} $$

を得る。

また、

$$ b_{n+1}=a_n+b_n=(b_n+b_{n-1})+b_n=2b_n+b_{n-1} $$

である。

次に、（2）より

$$ (1-\sqrt2)^n=a_n-b_n\sqrt2 $$

であるから、定義式と掛け合わせると

$$ \begin{aligned} (a_n+b_n\sqrt2)(a_n-b_n\sqrt2) &=(1+\sqrt2)^n(1-\sqrt2)^n\\ &=\bigl((1+\sqrt2)(1-\sqrt2)\bigr)^n\\ &=(-1)^n \end{aligned} $$

となる。左辺を展開して

$$ a_n^2-2b_n^2=(-1)^n $$

を得る。

ここで $a_n=b_n+b_{n-1}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} (-1)^n &=(b_n+b_{n-1})^2-2b_n^2\\ &=b_{n-1}^2+2b_nb_{n-1}-b_n^2\\ &=(2b_n+b_{n-1})b_{n-1}-b_n^2\\ &=b_{n+1}b_{n-1}-b_n^2 \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ b_{n+1}b_{n-1}-b_n^2=(-1)^n\qquad (n\ge2) $$

である。

(4)

（1）より

$$ b_6=70,\qquad b_5=29 $$

であるから、求める条件は

$$ 70p-29q=1 $$

となる。

ユークリッドの互除法を用いると、

$$ \begin{aligned} 70&=2\cdot 29+12,\\ 29&=2\cdot 12+5,\\ 12&=2\cdot 5+2,\\ 5&=2\cdot 2+1 \end{aligned} $$

である。これを逆にたどると、

$$ \begin{aligned} 1 &=5-2\cdot 2\\ &=5-2(12-2\cdot 5)\\ &=5\cdot 5-2\cdot 12\\ &=(29-2\cdot 12)\cdot 5-2\cdot 12\\ &=29\cdot 5-12\cdot 12\\ &=29\cdot 5-(70-2\cdot 29)\cdot 12\\ &=29\cdot 29-70\cdot 12 \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ p=-12,\qquad q=-29 $$

は 1 組の整数解である。

よって一般解は

$$ p=-12+29k,\qquad q=-29+70k\qquad (k\in\mathbb Z) $$

である。

ここで $0\le p\le 100,\ 0\le q\le 100$ を満たすように $k$ を決める。

$q\ge0$ より $k\ge1$、また $q\le100$ より $k\le1$ であるから、

$$ k=1 $$

に限る。したがって求める組は

$$ (p,q)=(17,41) $$

である。