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大阪大学 2017年文系第3問解説

方針・初手

対数を用いて漸化式を線形化し、等比数列に帰着させる標準的な問題である。（1）では、真数条件として $a_n > 0$ であることを確認したうえで、両辺の底を2とする対数をとる。（2）では、（1）で得られた漸化式を特性方程式を用いて解く。（3）では、積の形になっている $P_n$ を対数を利用して和の形に直し、等比数列と等差数列の和を計算する。（4）では、不等式を対数を用いて評価する。常用対数 $\log_{10} 2$ の値が問題文で与えられていないため、自分で簡単な累乗の比較から $\log_{10} 2$ の値の範囲を評価する必要がある。

解法1

(1) $a_1 = 2 > 0$ であり、$a_{n+1} = 8 {a_n}^2$ であるから、すべての自然数 $n$ において $a_n > 0$ である。与えられた漸化式の両辺について、底が2の対数をとると、

$$ \log_2 a_{n+1} = \log_2 (8 {a_n}^2) $$

$$ \log_2 a_{n+1} = \log_2 8 + \log_2 {a_n}^2 $$

$$ \log_2 a_{n+1} = 3 + 2\log_2 a_n $$

$b_n = \log_2 a_n$ より、

$$ b_{n+1} = 2b_n + 3 $$

(2) $b_1 = \log_2 a_1 = \log_2 2 = 1$ である。（1）で求めた漸化式 $b_{n+1} = 2b_n + 3$ は、次のように変形できる。

$$ b_{n+1} + 3 = 2(b_n + 3) $$

したがって、数列 $\{b_n + 3\}$ は初項 $b_1 + 3 = 1 + 3 = 4$、公比 $2$ の等比数列である。

$$ b_n + 3 = 4 \cdot 2^{n-1} $$

$$ b_n + 3 = 2^{n+1} $$

$$ b_n = 2^{n+1} - 3 $$

(3) $P_n = a_1 a_2 a_3 \cdots a_n$ について、両辺の底を2とする対数をとると、

$$ \log_2 P_n = \log_2 (a_1 a_2 a_3 \cdots a_n) $$

対数の性質より、積の対数は対数の和に分解できるため、

$$ \log_2 P_n = \sum_{k=1}^n \log_2 a_k = \sum_{k=1}^n b_k $$

ここで、（2）の結果を用いると、

$$ \sum_{k=1}^n b_k = \sum_{k=1}^n (2^{k+1} - 3) $$

$$ \sum_{k=1}^n b_k = \frac{4(2^n - 1)}{2 - 1} - 3n $$

$$ \sum_{k=1}^n b_k = 2^{n+2} - 3n - 4 $$

したがって、$\log_2 P_n = 2^{n+2} - 3n - 4$ となるから、対数の定義より、

$$ P_n = 2^{2^{n+2} - 3n - 4} $$

(4) $P_n > 10^{100}$ の両辺について、底が10の常用対数をとると、

$$ \log_{10} P_n > \log_{10} 10^{100} $$

$$ \log_{10} 2^{2^{n+2} - 3n - 4} > 100 $$

$$ (2^{n+2} - 3n - 4) \log_{10} 2 > 100 $$

ここで、$f(n) = 2^{n+2} - 3n - 4$ とおく。$n$ に具体的な自然数を代入して $f(n)$ の値を計算する。 $f(1) = 8 - 3 - 4 = 1$ $f(2) = 16 - 6 - 4 = 6$ $f(3) = 32 - 9 - 4 = 19$ $f(4) = 64 - 12 - 4 = 48$ $f(5) = 128 - 15 - 4 = 109$ $f(6) = 256 - 18 - 4 = 234$ $f(7) = 512 - 21 - 4 = 487$

次に、$\log_{10} 2$ の値を評価する。 $2^{10} = 1024 > 1000 = 10^3$ であるから、両辺の常用対数をとって、

$$ 10 \log_{10} 2 > 3 \quad \implies \quad \log_{10} 2 > 0.3 $$

また、$2^{13} = 8192 < 10000 = 10^4$ であるから、両辺の常用対数をとって、

$$ 13 \log_{10} 2 < 4 \quad \implies \quad \log_{10} 2 < \frac{4}{13} \approx 0.307 < 0.31 $$

これらより、$0.3 < \log_{10} 2 < 0.31$ であることがわかる。

$n=6$ のとき、

$$ f(6) \log_{10} 2 < 234 \times 0.31 = 72.54 < 100 $$

となり、条件を満たさない。

$n=7$ のとき、

$$ f(7) \log_{10} 2 > 487 \times 0.3 = 146.1 > 100 $$

となり、条件を満たす。 $f(n)$ は $n$ とともに単調に増加するため、$n \geqq 7$ のすべての自然数で不等式は成立する。よって、求める最小の自然数 $n$ は $7$ である。

解説

累乗の形で表された漸化式を、対数を利用して等差・等比数列などの基本形に持ち込む定石問題である。 (4) において、常用対数 $\log_{10} 2$ の近似値（通常は $0.3010$）が問題文に与えられていない点が最大の山場となる。このような場合は、$2^{10} = 1024 \approx 1000$ などの具体的な累乗の比較から、自分で上限と下限を評価する手法が求められる。本問では $0.3 < \log_{10} 2 < 0.31$ 程度の粗い評価で十分に $n=6$ と $n=7$ の間を切り分けられるように設計されている。