数学B 数学的帰納法 問題 4 解説

方針・初手

(1) は二項定理で展開し、$k\geqq 2$ の項がすべて正であることを見る。

(2) は (1) に $h=\dfrac{1}{n}$ を代入すればよい。

(3) は数学的帰納法で示す。帰納法の推移で

$$ \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1} $$

と

$$ \left(\frac{n}{2}\right)^n $$

の比を考えると、(2) がそのまま使える。

解法1

まず (1) を示す。

$h>0$、$n\geqq 2$ であるから、二項定理より

$$ \begin{aligned} (1+h)^n &= 1+nh+{}_{n}\mathrm{C}_{2}h^2+{}_{n}\mathrm{C}_{3}h^3+\cdots+h^n \end{aligned} $$

である。

ここで $h>0$ より、$h^2,h^3,\ldots,h^n$ はすべて正である。また、二項係数も正であるから、

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{2}h^2+{}_{n}\mathrm{C}_{3}h^3+\cdots+h^n>0 $$

である。したがって、

$$ (1+h)^n>1+nh $$

が成り立つ。

次に (2) を示す。

$n\geqq 2$ であるから、$h=\dfrac{1}{n}>0$ とおける。(1) に $h=\dfrac{1}{n}$ を代入すると、

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n > 1+n\cdot \frac{1}{n} $$

となる。よって、

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n>2 $$

である。

最後に (3) を示す。

$n\geqq 6$ に対して

$$ \left(\frac{n}{2}\right)^n>n! $$

を数学的帰納法で証明する。

(i)

$n=6$ のとき

$$ \left(\frac{6}{2}\right)^6=3^6=729 $$

であり、

$$ 6!=720 $$

であるから、

$$ \left(\frac{6}{2}\right)^6>6! $$

が成り立つ。

(ii)

$n\geqq 6$ とし、

$$ \left(\frac{n}{2}\right)^n>n! $$

が成り立つと仮定する。このとき、$n+1\geqq 7$ であり、$n\geqq 2$ なので (2) より

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n>2 $$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1} &= \left(\frac{n}{2}\right)^n \cdot \frac{n+1}{2} \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \\ &= \left(\frac{n}{2}\right)^n \cdot \frac{n+1}{2} \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{aligned} $$

である。

(2) より

$$ \begin{aligned} \frac{n+1}{2} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \\ > \\ \frac{n+1}{2}\cdot 2 \\ n+1 \end{aligned} $$

だから、

$$ \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1} > (n+1)\left(\frac{n}{2}\right)^n $$

である。

帰納法の仮定より

$$ \left(\frac{n}{2}\right)^n>n! $$

なので、

$$ (n+1)\left(\frac{n}{2}\right)^n>(n+1)n!=(n+1)! $$

となる。したがって、

$$ \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}>(n+1)! $$

が成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって、すべての $n\geqq 6$ に対して

$$ \left(\frac{n}{2}\right)^n>n! $$

が成り立つ。

解説

(1) はベルヌーイの不等式の基本形であり、二項展開すれば $1+nh$ より後ろの項が正であることから直ちに従う。

(2) は (1) の具体的な代入である。ここで得られる

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n>2 $$

は、(3) の帰納法で増加比を評価するために使う。

(3) では、単に

$$ \left(\frac{n}{2}\right)^n>n! $$

から次の $n+1$ の形へ移るのではなく、

$$ \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1} $$

を

$$ \left(\frac{n}{2}\right)^n $$

を含む形に変形することが重要である。そのとき現れる

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n $$

に (2) を適用することで、ちょうど階乗の次の因子 $n+1$ を上回る評価が得られる。

答え

(1)

$h>0$、$n\geqq 2$ のとき、

$$ (1+h)^n>1+nh $$

である。

(2)

$n\geqq 2$ のとき、

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n>2 $$

である。

(3)

$n\geqq 6$ のとき、

$$ \left(\frac{n}{2}\right)^n>n! $$

である。