数学B 数学的帰納法 問題 7 解説

方針・初手

まず $a_2,a_3,a_4$ を実際に計算し、分子・分母の変化を見る。得られた形から $a_n$ を推定し、その形が漸化式で保たれることを数学的帰納法で示す。

解法1

（1） 初めの数項を計算する。

$$ a_1=\frac14 $$

より、

$$ a_2=\frac{1}{2-a_1} =\frac{1}{2-\frac14} =\frac{1}{\frac74} =\frac47 $$

である。次に、

$$ a_3=\frac{1}{2-a_2} =\frac{1}{2-\frac47} =\frac{1}{\frac{10}{7}} =\frac{7}{10} $$

また、

$$ a_4=\frac{1}{2-a_3} =\frac{1}{2-\frac{7}{10}} =\frac{1}{\frac{13}{10}} =\frac{10}{13} $$

したがって、

$$ a_1=\frac14,\quad a_2=\frac47,\quad a_3=\frac{7}{10},\quad a_4=\frac{10}{13} $$

である。

分子は

$$ 1,4,7,10,\cdots $$

と $3$ ずつ増え、分母も

$$ 4,7,10,13,\cdots $$

と $3$ ずつ増えている。よって、一般項は

$$ a_n=\frac{3n-2}{3n+1} $$

と推定できる。

（2） 数学的帰納法により、

$$ a_n=\frac{3n-2}{3n+1} $$

を示す。

まず $n=1$ のとき、

$$ \frac{3\cdot 1-2}{3\cdot 1+1} =\frac14 $$

であり、これは $a_1=\frac14$ と一致する。よって $n=1$ で成り立つ。

次に、ある自然数 $k$ について

$$ a_k=\frac{3k-2}{3k+1} $$

が成り立つと仮定する。このとき、漸化式より

$$ \begin{aligned} a_{k+1} &=\frac{1}{2-a_k} \\ &=\frac{1}{2-\frac{3k-2}{3k+1}} \\ &=\frac{1}{\frac{2(3k+1)-(3k-2)}{3k+1}} \\ &=\frac{1}{\frac{6k+2-3k+2}{3k+1}} \\ &=\frac{1}{\frac{3k+4}{3k+1}} \\ &=\frac{3k+1}{3k+4} \end{aligned} $$

である。

一方、

$$ \frac{3(k+1)-2}{3(k+1)+1} =\frac{3k+1}{3k+4} $$

であるから、

$$ a_{k+1}=\frac{3(k+1)-2}{3(k+1)+1} $$

が成り立つ。

したがって、$n=k$ で成り立つならば $n=k+1$ でも成り立つ。数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について

$$ a_n=\frac{3n-2}{3n+1} $$

である。

解説

この問題では、まず数項を計算して規則を見つけることが重要である。分子と分母がともに $3$ ずつ増えているため、一般項を一次式の比として推定できる。

帰納法では、推定した式を漸化式に代入して、次の項も同じ形になることを確認する。特に、

$$ \begin{aligned} \frac{3k+1}{3k+4} &= \frac{3(k+1)-2}{3(k+1)+1} \end{aligned} $$

と書き換える部分が、帰納法の結論につながる。

答え

(1)

$$ a_2=\frac47,\quad a_3=\frac{7}{10},\quad a_4=\frac{10}{13} $$

一般項は

$$ a_n=\frac{3n-2}{3n+1} $$

と推定される。

(2)

数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について

$$ a_n=\frac{3n-2}{3n+1} $$

が成り立つ。