数学B 数学的帰納法 問題 9 解説

方針・初手

$2^{2^{n+1}}$ は $\left(2^{2^n}\right)^2$ と書ける。したがって、まず $x=2^{2^n}$ とおいて、$x^2+1$ を $(x-1)(x+1)+2$ の形に変形する。

(2) は (1) の結果を使うと自然に数学的帰納法で示せる。特に、$a_n=2^{2^n}+1$ であるから

$$ 2^{2^n}-1=a_n-2 $$

である点が重要である。

解法1

まず

$$ a_n=2^{2^n}+1 $$

である。

(1) の証明

$n\geqq 0$ とする。

$$ a_{n+1}=2^{2^{n+1}}+1 $$

であり、$2^{n+1}=2\cdot 2^n$ だから

$$ 2^{2^{n+1}}=2^{2\cdot 2^n}=\left(2^{2^n}\right)^2 $$

となる。

ここで $x=2^{2^n}$ とおくと、

$$ a_{n+1}=x^2+1 $$

である。一方、

$$ (x-1)(x+1)+2=x^2-1+2=x^2+1 $$

だから、

$$ a_{n+1}=\left(2^{2^n}-1\right)\left(2^{2^n}+1\right)+2 $$

となる。

ここで $2^{2^n}+1=a_n$ より、

$$ a_{n+1}=\left(2^{2^n}-1\right)a_n+2 $$

が成り立つ。

よって、$n\geqq 0$ のとき

$$ a_{n+1}=\left(2^{2^n}-1\right)a_n+2 $$

である。

(2) の証明

$n\geqq 1$ に対して

$$ a_n=a_0a_1\cdots a_{n-1}+2 $$

が成り立つことを数学的帰納法で示す。

まず $n=1$ のとき、

$$ a_0=2^{2^0}+1=2^1+1=3 $$

であり、

$$ a_1=2^{2^1}+1=2^2+1=5 $$

である。したがって

$$ a_0+2=3+2=5=a_1 $$

となるので、$n=1$ のとき成り立つ。

次に、ある $k\geqq 1$ に対して

$$ a_k=a_0a_1\cdots a_{k-1}+2 $$

が成り立つと仮定する。このとき

$$ a_0a_1\cdots a_{k-1}=a_k-2 $$

である。

また、$a_k=2^{2^k}+1$ より

$$ a_k-2=2^{2^k}-1 $$

である。したがって

$$ a_0a_1\cdots a_{k-1}=2^{2^k}-1 $$

となる。

(1) より、

$$ a_{k+1}=\left(2^{2^k}-1\right)a_k+2 $$

であるから、上の等式を代入して

$$ a_{k+1}=\left(a_0a_1\cdots a_{k-1}\right)a_k+2 $$

となる。よって

$$ a_{k+1}=a_0a_1\cdots a_{k-1}a_k+2 $$

である。

これは、$n=k+1$ のときにも

$$ a_n=a_0a_1\cdots a_{n-1}+2 $$

が成り立つことを意味する。

以上より、数学的帰納法によって、すべての $n\geqq 1$ に対して

$$ a_n=a_0a_1\cdots a_{n-1}+2 $$

が成り立つ。

解説

この数列はフェルマー数型の数列であり、基本的な変形は

$$ x^2+1=(x-1)(x+1)+2 $$

である。

(1) では $x=2^{2^n}$ とおくことで、$a_{n+1}$ を $a_n$ を含む形に変形する。

(2) では、(1) の係数 $2^{2^n}-1$ が

$$ a_n-2 $$

に等しいことを利用する。帰納法の仮定から $a_n-2=a_0a_1\cdots a_{n-1}$ が得られるので、(1) に代入すれば次の段階の積の形が現れる。

答え

(1)

$n\geqq 0$ のとき、

$$ a_{n+1}=\left(2^{2^n}-1\right)a_n+2 $$

が成り立つ。

(2)

$n\geqq 1$ のとき、

$$ a_n=a_0a_1\cdots a_{n-1}+2 $$

が成り立つ。