数学B 数学的帰納法 問題 14 解説

方針・初手

$a+b$ と $ab$ を基本対称式としておく。$a^2+b^2$ と $a^3+b^3$ は $a+b,ab$ で表せるので、まず $s=a+b,\ p=ab$ とおいて $s$ を求める。

解法1

$s=a+b,\ p=ab$ とおく。このとき

$$ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=s^2-2p $$

より、

$$ s^2-2p=16 $$

である。したがって

$$ p=\frac{s^2-16}{2} $$

となる。

また、

$$ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=s^3-3ps $$

であるから、

$$ s^3-3ps=44 $$

を得る。ここに $p=\dfrac{s^2-16}{2}$ を代入すると、

$$ s^3-3s\cdot \frac{s^2-16}{2}=44 $$

である。両辺を $2$ 倍して整理すると、

$$ 2s^3-3s(s^2-16)=88 $$

すなわち

$$ -s^3+48s=88 $$

である。よって

$$ s^3-48s+88=0 $$

を得る。

左辺を因数分解すると、

$$ s^3-48s+88=(s-2)(s^2+2s-44) $$

であるから、

$$ s=2,\quad s=-1+3\sqrt5,\quad s=-1-3\sqrt5 $$

が候補となる。

ただし、$a,b$ は実数である。$a,b$ は二次方程式

$$ x^2-sx+p=0 $$

の2つの実数解であるから、その判別式は $0$ 以上でなければならない。判別式は

$$ s^2-4p =s^2-4\cdot \frac{s^2-16}{2} =32-s^2 $$

である。したがって

$$ 32-s^2\geq 0 $$

すなわち

$$ s^2\leq 32 $$

が必要である。

ここで、

$$ (-1+3\sqrt5)^2=46-6\sqrt5 $$

であり、$46-6\sqrt5>32$ は $14>6\sqrt5$ と同値で、両辺正なので平方して

$$ 196>180 $$

より成り立つ。したがって $s=-1+3\sqrt5$ は不適である。

また、

$$ (-1-3\sqrt5)^2=46+6\sqrt5>32 $$

であるから、$s=-1-3\sqrt5$ も不適である。

よって

$$ a+b=s=2 $$

である。

次に $p=ab$ を求めると、

$$ ab=\frac{s^2-16}{2}=\frac{4-16}{2}=-6 $$

である。

$S_n=a^n+b^n$ とおく。$n\geq 2$ に対して、

$$ \begin{aligned} S_n &=a^n+b^n\\ &=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2}) \end{aligned} $$

が成り立つ。したがって、$a+b=2,\ ab=-6$ より

$$ S_n=2S_{n-1}+6S_{n-2} $$

である。

まず、

$$ S_0=a^0+b^0=2,\qquad S_1=a+b=2 $$

であるから、漸化式

$$ S_n=2S_{n-1}+6S_{n-2} $$

により、すべての $n$ について $S_n$ は整数である。

また、

$$ S_2=a^2+b^2=16 $$

であり、問題の条件から

$$ S_3=a^3+b^3=44 $$

である。よって $S_2,S_3$ はともに $4$ で割り切れる。

ここで、ある $k\geq 4$ について $S_{k-1},S_{k-2}$ がともに $4$ で割り切れるとする。このとき

$$ S_k=2S_{k-1}+6S_{k-2} $$

であり、右辺は $4$ の倍数の整数どうしの和であるから、$S_k$ も $4$ で割り切れる。

したがって数学的帰納法により、すべての整数 $n\geq 2$ について、$a^n+b^n$ は $4$ で割り切れる整数である。

解説

この問題では、$a,b$ を直接求めにいくよりも、$a+b$ と $ab$ を使って対称式として処理するのが自然である。

特に注意すべき点は、$s=a+b$ の候補が3つ出たあと、すべてを答えにしてはいけない点である。$a,b$ が実数であるためには、$a,b$ を解にもつ二次方程式の判別式が $0$ 以上でなければならない。この条件によって不適な候補を除外する必要がある。

後半は、$a+b=2,\ ab=-6$ が分かれば、$S_n=a^n+b^n$ が整数係数の漸化式を満たすことを利用する。個々の $a,b$ は無理数を含むが、和 $a^n+b^n$ は漸化式によって整数になることが分かる。

答え

(1)

$$ a+b=2 $$

(2)

すべての整数 $n\geq 2$ について、$a^n+b^n$ は $4$ で割り切れる整数である。