数学B 数学的帰納法 問題 22 解説

方針・初手

数学的帰納法では、まず $n=1$ のときに成り立つことを確認し、次に $n=k$ のとき成り立つと仮定して $n=k+1$ のときも成り立つことを示す。

ここでは、左辺に次の項 $k+1$ を加えると右辺がどのように変形されるかを見る。

解法1

$n$ を自然数とする。命題

$$ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} $$

を数学的帰納法で証明する。

まず、$n=1$ のとき、左辺は

$$ 1 $$

であり、右辺は

$$ \frac{1(1+1)}{2}=1 $$

である。したがって、$n=1$ のとき命題は成り立つ。

次に、ある自然数 $k$ について

$$ 1+2+3+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2} $$

が成り立つと仮定する。

このとき、$n=k+1$ の左辺は

$$ 1+2+3+\cdots+k+(k+1) $$

である。帰納法の仮定を用いると、

$$ \begin{aligned} 1+2+3+\cdots+k+(k+1) &=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1) \\ &=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} \\ &=\frac{(k+1)(k+2)}{2} \end{aligned} $$

となる。

これは

$$ \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} $$

に等しい。したがって、$n=k+1$ のときも命題は成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について

$$ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} $$

が成り立つ。

解説

この問題では、$n=k$ の場合の式に次の項 $k+1$ を加えると、$n=k+1$ の場合の式になることを利用する。

帰納法の仮定は

$$ 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2} $$

であり、これをそのまま $1+2+\cdots+k+(k+1)$ の前半部分に代入することが重要である。

最後に

$$ \frac{(k+1)(k+2)}{2} $$

が $n=k+1$ のときの右辺

$$ \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} $$

になっていることを確認すればよい。

答え

すべての自然数 $n$ について、

$$ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} $$

が成り立つ。