数学B 数学的帰納法 問題 24 解説

方針・初手

漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{3a_n-1}{4a_n-1} $$

に $a_1=1$ を代入して初項から計算し、分子・分母の変化から一般項を推測する。得られた形は数学的帰納法で証明する。

解法1

まず $a_2,a_3,a_4$ を順に求める。

$$ a_2=\frac{3a_1-1}{4a_1-1} =\frac{3\cdot 1-1}{4\cdot 1-1} =\frac{2}{3} $$

次に、

$$ a_3=\frac{3a_2-1}{4a_2-1} =\frac{3\cdot \frac{2}{3}-1}{4\cdot \frac{2}{3}-1} =\frac{2-1}{\frac{8}{3}-1} =\frac{1}{\frac{5}{3}} =\frac{3}{5} $$

また、

$$ a_4=\frac{3a_3-1}{4a_3-1} =\frac{3\cdot \frac{3}{5}-1}{4\cdot \frac{3}{5}-1} =\frac{\frac{9}{5}-1}{\frac{12}{5}-1} =\frac{\frac{4}{5}}{\frac{7}{5}} =\frac{4}{7} $$

したがって、

$$ a_1=1=\frac{1}{1},\quad a_2=\frac{2}{3},\quad a_3=\frac{3}{5},\quad a_4=\frac{4}{7} $$

より、一般項は

$$ a_n=\frac{n}{2n-1} $$

と推測できる。

これを数学的帰納法で証明する。

まず $n=1$ のとき、

$$ \frac{1}{2\cdot 1-1}=1 $$

であり、$a_1=1$ と一致する。よって $n=1$ で成り立つ。

次に、ある自然数 $k$ に対して

$$ a_k=\frac{k}{2k-1} $$

が成り立つと仮定する。このとき、

$$ \begin{aligned} a_{k+1} &=\frac{3a_k-1}{4a_k-1} \\ &=\frac{3\cdot \frac{k}{2k-1}-1}{4\cdot \frac{k}{2k-1}-1} \\ &=\frac{\frac{3k-(2k-1)}{2k-1}}{\frac{4k-(2k-1)}{2k-1}} \\ &=\frac{k+1}{2k+1}. \end{aligned} $$

ここで

$$ \begin{aligned} \frac{k+1}{2k+1} &= \frac{k+1}{2(k+1)-1} \end{aligned} $$

であるから、$n=k+1$ のときも

$$ a_{k+1}=\frac{k+1}{2(k+1)-1} $$

が成り立つ。

また、帰納法の仮定のもとで

$$ \begin{aligned} 4a_k-1 &= 4\cdot \frac{k}{2k-1}-1 \\ \frac{2k+1}{2k-1} \end{aligned} $$

であり、自然数 $k$ についてこれは $0$ ではない。したがって漸化式の分母も問題なく定義される。

以上より、すべての自然数 $n$ に対して

$$ a_n=\frac{n}{2n-1} $$

が成り立つ。

解説

この漸化式は分数式で与えられているが、初項から数項を計算すると

$$ 1,\quad \frac{2}{3},\quad \frac{3}{5},\quad \frac{4}{7} $$

となり、分子が $n$、分母が奇数 $2n-1$ になっていることに気づくのが自然である。

推測した式を証明するときは、単に「代入すればよい」と済ませず、帰納法で $a_k=\frac{k}{2k-1}$ を仮定して $a_{k+1}=\frac{k+1}{2k+1}$ が出ることを確認する。分母 $4a_k-1$ が $0$ でないことも、式が正しく定義されるために必要な確認である。

答え

(1)

$$ a_2=\frac{2}{3},\quad a_3=\frac{3}{5},\quad a_4=\frac{4}{7} $$

(2)

$$ a_n=\frac{n}{2n-1} $$

であり、これは数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ について成り立つ。